Calcule
\mathscr{L}{f(t)}), ou
\mathscr{L}^{-1}{F(s)}), conforme seja o caso:
(a)
f(t)=t-(t-1) u_{1}(t).

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)=t - (t-1)\,u_{1}(t).
O conteúdo que vamos usar é:
– a transformada de Laplace de \,t é \mathscr{L}\{t\}=1/s^{2}.
– o teorema do deslocamento no tempo (segunda propriedade de descolamento):
seja g(t-a)u_{a}(t), então
\mathscr{L}\{g(t-a)\,u_{a}(t)\} = e^{-a s}\,G(s),
onde G(s)=\mathscr{L}\{g(t)\}.

Passo 2

Reconhecemos a parte deslocada
(t-1)\,u_{1}(t)
como da forma g(t-1)\,u_{1}(t) com a=1 e g(\tau)=\tau.
Portanto,
G(s)=\mathscr{L}\{\tau\}=\frac{1}{s^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \mathscr{L}\{(t-1)\,u_{1}(t)\} = e^{-1\cdot s}\,\frac{1}{s^{2}} = \frac{e^{-s}}{s^{2}}.

Passo 3

Calculamos também
\mathscr{L}\{t\} = \frac{1}{s^{2}}.

Passo 4

Usando linearidade,
\mathscr{L}\{f(t)\} = \mathscr{L}\{t\} \;-\;\mathscr{L}\{(t-1)\,u_{1}(t)\} = \frac{1}{s^{2}} \;-\;\frac{e^{-s}}{s^{2}} = \frac{1 - e^{-s}}{s^{2}}.

Resposta

\mathscr{L}\{f(t)\} = \frac{1 - e^{-s}}{s^{2}}.

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