Usando Laplace, resolva os PVIs:
(a) $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+3 y=0, \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=1);

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial usando transformada de Laplace. Temos a equação
y'' + 4y' + 3y = 0
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1. Para resolver, vamos usar as propriedades:
\mathcal{L}\{y\}=Y(s),\quad \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0),\quad \mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, obtemos
\mathcal{L}\{y''\} + 4\,\mathcal{L}\{y'\} + 3\,\mathcal{L}\{y\} = 0.
Substituindo as fórmulas e as condições iniciais:
\bigl(s^{2}Y(s)-s\cdot0-1\bigr) + 4\bigl(sY(s)-0\bigr) + 3Y(s) = 0.

Passo 3

Reagrupando em Y(s):
\bigl(s^{2} + 4s + 3\bigr)Y(s) - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{1}{s^{2} + 4s + 3}.

Passo 4

Fatoramos o denominador e fazemos frações parciais:
s^{2}+4s+3 = (s+1)(s+3),
\frac{1}{(s+1)(s+3)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+3}.
Resolvendo A+B=0 e 3A+B=1 A=\tfrac12, B=-\tfrac12. Logo,
Y(s) = \frac{1/2}{s+1} - \frac{1/2}{s+3}.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa:
y(t) = \tfrac12\,e^{-t} - \tfrac12\,e^{-3t}.

Resposta

y(t) = \frac{1}{2}\bigl(e^{-t} - e^{-3t}\bigr).

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