Calcule usando a definição de limite a derivada f^{\prime}(x), para as seguintes funções:
f(x)=2 x^{2}-3 x+8

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=2x^{2}-3x+8 usando a definição de limite. O conteúdo é a definição
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
e vamos precisar expandir f(x+h), simplificar a diferença e, por fim, calcular o limite.

Passo 2

Aplicando a definição, escrevemos
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

Passo 3

Calculemos f(x+h):
f(x+h)=2(x+h)^{2}-3(x+h)+8 =2(x^{2}+2xh+h^{2})-3x-3h+8 =2x^{2}+4xh+2h^{2}-3x-3h+8.

Passo 4

Formemos a diferença e simplifiquemos:
f(x+h)-f(x) =\bigl(2x^{2}+4xh+2h^{2}-3x-3h+8\bigr)-\bigl(2x^{2}-3x+8\bigr) =4xh+2h^{2}-3h.
Dividindo por h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{h(4x+2h-3)}{h} =4x+2h-3.

Passo 5

Agora tomamos o limite quando h\to0:
f'(x)=\lim_{h\to0}(4x+2h-3)=4x-3.

Resposta

A derivada é
f'(x)=4x-3.

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