Usando Laplace, resolva os PVIs:
(b) $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}=4, \quad y(0)=-1, y^{\prime}(0)=4).

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - 2y' = 4,\quad y(0)=-1,\;y'(0)=4
usando transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades
  1. \mathcal L\{y'\}=sY(s)-y(0),
  2. \mathcal L\{y''\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0),
    e da tabela \mathcal L\{e^{at}\}=1/(s-a), \mathcal L\{t\}=1/s^2.

Passo 2

Aplicando Laplace em ambos os lados de
y''-2y'=4
temos
\mathcal L\{y''\}-2\,\mathcal L\{y'\}=\mathcal L\{4\}=\frac{4}{s}.
Usando y(0)=-1 e y'(0)=4:
\mathcal L\{y''\}=s^2Y(s)-s(-1)-4=s^2Y(s)+s-4,
\mathcal L\{y'\}=sY(s)-(-1)=sY(s)+1.
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\bigl(s^2Y(s)+s-4\bigr)-2\bigl(sY(s)+1\bigr)=\frac{4}{s}.

Passo 3

Reagrupando termos em Y(s):
s^2Y(s)+s-4-2sY(s)-2=\frac{4}{s} \quad\Longrightarrow\quad (s^2-2s)Y(s)+(s-6)=\frac{4}{s}.
Isolando Y(s):
Y(s)=\frac{\tfrac{4}{s}-s+6}{s(s-2)} =\frac{-s^2+6s+4}{s^2(s-2)}.

Passo 4

Fazemos frações parciais:
\frac{-s^2+6s+4}{s^2(s-2)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{s-2}.
Multiplicando por s^2(s-2) e comparando coeficientes obtém-se
A=-4,\quad B=-2,\quad C=3.
Assim
Y(s)=-\frac{4}{s}-\frac{2}{s^2}+\frac{3}{s-2}.

Passo 5

Voltando pela transformada inversa:
\mathcal L^{-1}\Bigl(-\tfrac{4}{s}\Bigr)=-4, \quad \mathcal L^{-1}\Bigl(-\tfrac{2}{s^2}\Bigr)=-2t, \quad \mathcal L^{-1}\Bigl(\tfrac{3}{s-2}\Bigr)=3e^{2t}.
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y(t)=3e^{2t}-2t-4.

Resposta

y(t)=3e^{2t}-2t-4.

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