Calcule
\mathscr{L}{f(t)}), ou
\mathscr{L}^{-1}{F(s)}), conforme seja o caso:
(a) Calcule
\mathscr{L}(f)
, se
f(t)=t{2}-e{3 t}
.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(t)=t^{2}-e^{3t}.
O conteúdo aqui é a transformada de Laplace, que exige as fórmulas conhecidas \displaystyle \mathscr{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}}
e \displaystyle \mathscr{L}\{e^{at}\}(s)=\frac{1}{s-a}.

Passo 2

Vamos calcular \mathscr{L}\{t^{2}\}(s).
Usando a fórmula com n=2, temos
\mathscr{L}\{t^{2}\}(s) =\frac{2!}{s^{2+1}} =\frac{2}{s^{3}}.

Passo 3

Agora calculamos \mathscr{L}\{e^{3t}\}(s).
Pela fórmula com a=3, obtemos
\mathscr{L}\{e^{3t}\}(s) =\frac{1}{s-3},
válido para \Re(s)>3.

Passo 4

Como f(t)=t^{2}-e^{3t}, a transformada é a diferença das duas partes:
\mathscr{L}\{f\}(s) =\mathscr{L}\{t^{2}\}(s)\;-\;\mathscr{L}\{e^{3t}\}(s) =\frac{2}{s^{3}}-\frac{1}{s-3}.

Resposta

\mathscr{L}\{f\}(s) =\frac{2}{s^{3}}-\frac{1}{s-3}.

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