Calcule usando a definição de limite a derivada f^{\prime}(x), para as seguintes funções:
f(x)=3 x^{3}+4 x^{2}-5 x+6

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada f'(x) de
f(x)=3x^{3}+4x^{2}-5x+6
usando a definição de derivada pelo limite. Vamos usar
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

Passo 2

Escrevemos o quociente de diferenças:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{3(x+h)^{3}+4(x+h)^{2}-5(x+h)+6 \;-\;\bigl(3x^{3}+4x^{2}-5x+6\bigr)}{h}.

Passo 3

Expandimos f(x+h):
3(x+h)^{3}=3\bigl(x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}\bigr) =3x^{3}+9x^{2}h+9xh^{2}+3h^{3},
4(x+h)^{2}=4\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}\bigr) =4x^{2}+8xh+4h^{2},
e
-5(x+h)=-5x-5h.
Somando tudo e acrescentando +6, obtemos
f(x+h)=3x^{3}+9x^{2}h+9xh^{2}+3h^{3} +4x^{2}+8xh+4h^{2}-5x-5h+6.

Passo 4

Subtraímos f(x)=3x^{3}+4x^{2}-5x+6 do resultado acima:
f(x+h)-f(x) =9x^{2}h+9xh^{2}+3h^{3}+8xh+4h^{2}-5h.

Passo 5

Dividimos por h e simplificamos:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =9x^{2}+9xh+3h^{2}+8x+4h-5.

Passo 6

Fazendo h\to0, todos os termos com h somem, ficando
f'(x)=9x^{2}+8x-5.

Resposta

f'(x)=9x^{2}+8x-5.

Exercícios relacionados