Calcule, se possível as inversas das seguintes matrizes:
\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 \\\\ -3 & 1 & 4 \\\\ 2 & -3 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: calcular, se possível, a inversa da matriz
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 \\[4pt] -3 & 1 & 4 \\[4pt] 2 & -3 & 4\end{array}\right].
Informações dadas:
  • A é uma matriz 3\times3.
  • A tarefa é fornecer A^{-1} quando ela existir (ou dizer que não existe se não for invertível).]

Passo 2

Conceito importante que vamos usar: uma matriz quadrada A tem inversa A^{-1} se, e somente se, \det(A)\neq0. Para matrizes 3\times3 uma forma rápida de calcular o determinante é a regra de Sarrus. Vamos calcular \det(A).
Regra de Sarrus (para lembrar): se
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},
então
\det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-\bigl(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}\bigr).
Aplicando aos elementos de A:
  • a_{11}=1, a_{12}=0, a_{13}=-2;
  • a_{21}=-3, a_{22}=1, a_{23}=4;
  • a_{31}=2, a_{32}=-3, a_{33}=4.
Calculemos cada termo:
\begin{aligned} \text{soma direta} &= 1\cdot1\cdot4 + 0\cdot4\cdot2 + (-2)\cdot(-3)\cdot(-3) = 4 + 0 + (-18) = -14,\\[4pt] \text{soma inversa} &= (-2)\cdot1\cdot2 + 1\cdot4\cdot(-3) + 0\cdot(-3)\cdot4 = -4 -12 + 0 = -16. \end{aligned}
Portanto
\det(A)=(-14)-(-16)=2.
Como \det(A)=2\neq0, a matriz A é invertível e existe A^{-1}.]

Passo 3

Método escolhido: eliminação de Gauss-Jordan (método padrão para calcular inversas manualmente). A ideia: montar a matriz aumentada [A\mid I] e aplicar operações elementares por linhas até obter [I\mid A^{-1}].
Montamos inicialmente
\bigl[A\mid I\bigr]= \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] -3 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 2 & -3 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Lembrando: operações elementares permitidas são trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, e somar múltiplos de uma linha a outra. Essas operações correspondem a multiplicar por matrizes elementares e preservam a solução de sistema; no caso da inversa, transformam A em I e vão transformando I em A^{-1}.]

Passo 4

Usar o pivô da primeira linha (que já é 1 em (1,1)). Vamos zerar as entradas da coluna 1 nas linhas 2 e 3:
  • Fazer R_2 \leftarrow R_2 + 3R_1.
    Cálculo elemento a elemento da linha 2:
\begin{aligned} &-3 + 3\cdot1 = 0,\\\ &1 + 3\cdot0 = 1,\\\ &4 + 3\cdot(-2) = 4 - 6 = -2,\\[4pt] &0 + 3\cdot1 = 3,\quad 1 + 3\cdot0 = 1,\quad 0 + 3\cdot0 = 0. \end{aligned}
Logo R_2 vira [0\; 1\; -2 \mid 3\; 1\; 0].
  • Fazer R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1.
    Cálculo elemento a elemento da linha 3:
\begin{aligned} &2 - 2\cdot1 = 0,\\\ &-3 - 2\cdot0 = -3,\\\ &4 - 2\cdot(-2) = 4 + 4 = 8,\\[4pt] &0 - 2\cdot1 = -2,\quad 0 - 2\cdot0 = 0,\quad 1 - 2\cdot0 = 1. \end{aligned}
Logo R_3 vira [0\; -3\; 8 \mid -2\; 0\; 1].
A matriz aumentada agora é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 3 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -3 & 8 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora usamos o pivô em (2,2), que é 1. Vamos zerar a entrada (3,2) (atualmente -3) com
R_3 \leftarrow R_3 + 3R_2.
Cálculos para R_3:
\begin{aligned} &0 + 3\cdot0 = 0,\\\ &-3 + 3\cdot1 = 0,\\\ &8 + 3\cdot(-2) = 8 - 6 = 2,\\[4pt] &-2 + 3\cdot3 = -2 + 9 = 7,\quad 0 + 3\cdot1 = 3,\quad 1 + 3\cdot0 = 1. \end{aligned}
Então R_3 fica [0\;0\;2 \mid 7\;3\;1].
Aumentada é agora
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 3 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 7 & 3 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora pivô em (3,3) é 2. Primeiro normalizamos R_3 dividindo por 2:
R_3 \leftarrow \tfrac{1}{2}R_3 \;\Rightarrow\; R_3 = [0\;0\;1 \mid \tfrac{7}{2}\;\tfrac{3}{2}\;\tfrac{1}{2}].
Em seguida zeramos as entradas acima na coluna 3:
  • R_1 tem -2 em (1,3), então R_1 \leftarrow R_1 + 2R_3.
    Cálculos para R_1:
\begin{aligned} &1 + 2\cdot0 = 1,\quad 0 + 2\cdot0 = 0,\quad -2 + 2\cdot1 = 0,\\[4pt] &1 + 2\cdot\tfrac{7}{2} = 1 + 7 = 8,\\\ &0 + 2\cdot\tfrac{3}{2} = 0 + 3 = 3,\\\ &0 + 2\cdot\tfrac{1}{2} = 1. \end{aligned}
Assim R_1=[1\;0\;0\mid 8\;3\;1].
  • R_2 tem -2 em (2,3), então R_2 \leftarrow R_2 + 2R_3.
    Cálculos para R_2:
\begin{aligned} &0 + 2\cdot0 = 0,\quad 1 + 2\cdot0 = 1,\quad -2 + 2\cdot1 = 0,\\[4pt] &3 + 2\cdot\tfrac{7}{2} = 3 + 7 = 10,\\\ &1 + 2\cdot\tfrac{3}{2} = 1 + 3 = 4,\\\ &0 + 2\cdot\tfrac{1}{2} = 1. \end{aligned}
Assim R_2=[0\;1\;0\mid 10\;4\;1].
Depois dessas operações a matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 8 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 10 & 4 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{7}{2} & \tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} \end{array}\right].
Agora a parte esquerda é a matriz identidade I_3, e a parte direita é a inversa procurada.]

Passo 7

Concluímos que
A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} 8 & 3 & 1\\[4pt] 10 & 4 & 1\\[4pt] \tfrac{7}{2} & \tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} \end{array}\right].
Pequeno lembrete amigável: como \det(A)=2, é coerente que os elementos da inversa sejam racionais com denominador possivelmente 2; o cálculo por Gauss-Jordan deu exatamente estes valores.]

Resposta

A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} 8 & 3 & 1\\[4pt] 10 & 4 & 1\\[4pt] \tfrac{7}{2} & \tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} \end{array}\right]]

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