A tarefa é fornecer A^{-1} quando ela existir (ou dizer que não existe se não for invertível).]
Passo 2
Conceito importante que vamos usar: uma matriz quadrada A tem inversa A^{-1} se, e somente se, \det(A)\neq0. Para matrizes 3\times3 uma forma rápida de calcular o determinante é a regra de Sarrus. Vamos calcular \det(A).
Como \det(A)=2\neq0, a matriz A é invertível e existe A^{-1}.]
Passo 3
Método escolhido: eliminação de Gauss-Jordan (método padrão para calcular inversas manualmente). A ideia: montar a matriz aumentada [A\mid I] e aplicar operações elementares por linhas até obter [I\mid A^{-1}].
Lembrando: operações elementares permitidas são trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, e somar múltiplos de uma linha a outra. Essas operações correspondem a multiplicar por matrizes elementares e preservam a solução de sistema; no caso da inversa, transformam A em I e vão transformando I em A^{-1}.]
Passo 4
Usar o pivô da primeira linha (que já é 1 em (1,1)). Vamos zerar as entradas da coluna 1 nas linhas 2 e 3:
Fazer R_2 \leftarrow R_2 + 3R_1.
Cálculo elemento a elemento da linha 2:
Pequeno lembrete amigável: como \det(A)=2, é coerente que os elementos da inversa sejam racionais com denominador possivelmente 2; o cálculo por Gauss-Jordan deu exatamente estes valores.]