Calcule, se possível as inversas das seguintes matrizes:
\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 2 \\\\ 1 & 0 & 3 \\\\ 4 & -3 & 8\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: calcular a inversa da matriz
A=\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 2 \\[4pt] 1 & 0 & 3 \\[4pt] 4 & -3 & 8\end{array}\right].
Informações dadas:
  • A matriz A é 3\times3.
  • Precisa-se encontrar A^{-1}, se existir.]

Passo 2

Como saber se a inversa existe? Regra rápida: uma matriz quadrada tem inversa se, e somente se, o determinante não for zero. Vou então:
  1. Calcular o determinante \det(A) para checar invertibilidade.
  2. Se \det(A)\neq 0, encontrar A^{-1} usando eliminação de Gauss-Jordan (método prático em prova sem fórmula de adjunta).
Explicando brevemente os conceitos (tipo aulinha rápida):
  • O determinante de uma matriz 3\times3 dá uma medida “escalar” que indica, entre outras coisas, se as colunas são linearmente independentes. Se \det(A)=0, as colunas são dependentes e não existe inversa.
  • A eliminação de Gauss-Jordan consiste em aplicar operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha a outra) até transformar [A\mid I] na forma [I\mid A^{-1}]. Essas operações correspondem a multiplicar por matrizes elementares — todas invertíveis — logo preservam a existência da inversa.

Passo 3

Calculo do determinante por expansão na primeira linha (ou pela regra de Sarrus). Usando a primeira linha:
\det(A)=0\cdot\det\!\left(\begin{array}{cc}0 & 3\\[4pt]-3 & 8\end{array}\right) -1\cdot\det\!\left(\begin{array}{cc}1 & 3\\[4pt]4 & 8\end{array}\right) +2\cdot\det\!\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\[4pt]4 & -3\end{array}\right).
Agora os menores 2\times2:
\det\!\left(\begin{array}{cc}1 & 3\\[4pt]4 & 8\end{array}\right)=1\cdot8-3\cdot4=8-12=-4,
\det\!\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\[4pt]4 & -3\end{array}\right)=1\cdot(-3)-0\cdot4=-3.
Substituindo:
\det(A)=0 -1\cdot(-4)+2\cdot(-3)=4-6=-2.]

Passo 4

Conclusão sobre invertibilidade:
\det(A)=-2\neq 0,
logo A é invertível e a inversa existe. Agora aplico Gauss-Jordan para obter A^{-1}.

Passo 5

Montar a matriz aumentada [A\mid I]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 4 & -3 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Objetivo: usar operações de linha para transformar o bloco esquerdo em I_3. Vou descrever cada operação e o resultado.]

Passo 6

Escolher pivô na coluna 1. Como a entrada (1,1) é 0, troco a linha 1 com a linha 2 para ter pivô 1:
Operação: R_1\leftrightarrow R_2.
Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 4 & -3 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 7

Zerar abaixo do pivô na coluna 1 (eliminar entrada 4 em R_3):
Operação: R_3 \leftarrow R_3 - 4R_1.
Cálculo linha a linha:
  • R_3 esquerda: [4,-3,8] -4[1,0,3]=[0,-3,-4].
  • R_3 direita: [0,0,1]-4[0,1,0]=[0,-4,1].
    Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -3 & -4 & 0 & -4 & 1 \end{array}\right].]

Passo 8

Usar o pivô da coluna 2 que já é 1 em R_2. Zerar acima e abaixo na coluna 2. Acima já é zero; abaixo eliminamos o -3 em R_3 somando 3 vezes R_2:
Operação: R_3 \leftarrow R_3 + 3R_2.
Cálculo:
  • Esquerda: [0,-3,-4]+3[0,1,2]=[0,0,2].
  • Direita: [0,-4,1]+3[1,0,0]=[3,-4,1].
    Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 3 & -4 & 1 \end{array}\right].]

Passo 9

Agora pivot na coluna 3 está em R_3 e vale 2. Normalizar para pivot 1:
Operação: R_3 \leftarrow \tfrac{1}{2}R_3.
Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{3}{2} & -2 & \tfrac{1}{2} \end{array}\right].]

Passo 10

Zerar as entradas acima do pivô da coluna 3:
  • Em R_1 3 na coluna 3. Faço R_1 \leftarrow R_1 - 3R_3.
  • Em R_2 2 na coluna 3. Faço R_2 \leftarrow R_2 - 2R_3.
Cálculos:
Para R_1:
  • Esquerda: [1,0,3]-3[0,0,1]=[1,0,0].
  • Direita: [0,1,0]-3[\tfrac{3}{2},-2,\tfrac{1}{2}]=[0- \tfrac{9}{2},\\\ 1-(-6),\\\ 0-\tfrac{3}{2}]=\left[-\tfrac{9}{2},\\\ 7,\\\ -\tfrac{3}{2}\right].
Para R_2:
  • Esquerda: [0,1,2]-2[0,0,1]=[0,1,0].
  • Direita: [1,0,0]-2[\tfrac{3}{2},-2,\tfrac{1}{2}]=[1-3,\\\ 0-(-4),\\\ 0-1]=[-2,\\\ 4,\\\ -1].
Resultado final da eliminação:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{9}{2} & 7 & -\tfrac{3}{2}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & -2 & 4 & -1\\[6pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{3}{2} & -2 & \tfrac{1}{2} \end{array}\right].]

Passo 11

Agora o bloco esquerdo é I_3 e o bloco direito é A^{-1}. Portanto:
A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} -\tfrac{9}{2} & 7 & -\tfrac{3}{2}\\[6pt] -2 & 4 & -1\\[6pt] \tfrac{3}{2} & -2 & \tfrac{1}{2} \end{array}\right].]

Resposta

A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} -\tfrac{9}{2} & 7 & -\tfrac{3}{2}\\[6pt] -2 & 4 & -1\\[6pt] \tfrac{3}{2} & -2 & \tfrac{1}{2} \end{array}\right]]

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