Como saber se a inversa existe? Regra rápida: uma matriz quadrada tem inversa se, e somente se, o determinante não for zero. Vou então:
Calcular o determinante \det(A) para checar invertibilidade.
Se \det(A)\neq 0, encontrar A^{-1} usando eliminação de Gauss-Jordan (método prático em prova sem fórmula de adjunta).
Explicando brevemente os conceitos (tipo aulinha rápida):
O determinante de uma matriz 3\times3 dá uma medida “escalar” que indica, entre outras coisas, se as colunas são linearmente independentes. Se \det(A)=0, as colunas são dependentes e não existe inversa.
A eliminação de Gauss-Jordan consiste em aplicar operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha a outra) até transformar [A\mid I] na forma [I\mid A^{-1}]. Essas operações correspondem a multiplicar por matrizes elementares — todas invertíveis — logo preservam a existência da inversa.
Passo 3
Calculo do determinante por expansão na primeira linha (ou pela regra de Sarrus). Usando a primeira linha:
Usar o pivô da coluna 2 que já é 1 em R_2. Zerar acima e abaixo na coluna 2. Acima já é zero; abaixo eliminamos o -3 em R_3 somando 3 vezes R_2:
Operação: R_3 \leftarrow R_3 + 3R_2.
Cálculo: