Questão 2
4 pontos
Considere a matriz aumentada associada ao sistema linear A X=B. Antes de iniciar o exercício: Substitua os números do seu RA correspondentes às letras \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} abaixo:
[A \mid B]=\left[\begin{array}{ccc|c} 2 a & 2 & -2 & a+2 \\\ a+1 & -1 & c-1 & 2 a \\\\ 1-3 a & -5 & c+3 & -4 \end{array}\right]
(a) Resolva o sistema A X=B através do Método de Gauss Jordan. Este sistema tem: Solução única (SPD), Múltiplas soluções (SPI) ou Nenhuma solução (SI)? Caso seja SPD ou SPI, apresente a solução X deste sistema.
(b) Considerando todos os tipos possíveis de sistemas lineares do tipo A X=B : o que é possível afirmar a respeito do determinante e da inversa da matriz A ?
(c) Explique como você aplicaria o procedimento que utiliza o Método de Gauss Jordan para obter A^{-1}.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz aumentada do sistema A X=B com parâmetros \boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c} (aqui só aparecem \boldsymbol{a} e \boldsymbol{c}):
[A\mid B]=\left[\begin{array}{ccc|c} 2a & 2 & -2 & a+2 \\\ a+1 & -1 & c-1 & 2a \\\\ 1-3a & -5 & c+3 & -4 \end{array}\right].
As perguntas são:
(a) Resolver o sistema A X=B pelo Método de Gauss–Jordan e dizer se é SPD (única solução), SPI (infinitas soluções) ou SI (sem solução). Se for SPD ou SPI, apresentar a solução X.
(b) Considerando todos os tipos possíveis, o que se pode afirmar sobre \det(A) e A^{-1}?
(c) Explicar como aplicar o procedimento de Gauss–Jordan para obter A^{-1}.
Informações relevantes dadas:
  • A matriz de coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 2a & 2 & -2\\[4pt] a+1 & -1 & c-1\\[4pt] 1-3a & -5 & c+3 \end{pmatrix},
e o vetor direito é B=(a+2,\;2a,\;-4)^{T}.
  • Os parâmetros são \;a e c (o enunciado pedia substituir dígitos do RA, mas aqui vamos resolver simbolicamente em função de a e c sem pedir valores).]

Passo 2

Breve revisão do método e estratégia (didática): Gauss–Jordan usa operações elementares sobre linhas para levar a matriz aumentada a uma forma reduzida por linhas (RREF), onde se lê diretamente a solução. Para classificar o sistema com parâmetros eu vou:
  • Calcular \det(A) para ver se existe chance de solução única (se \det(A)\neq0 teria solução única).
  • Fazer eliminação (operações sobre linhas) para obter linhas independentes e detectar consistência (se aparecer uma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0\mid d] com d\neq0 é SI).
  • Quando houver infinitas soluções (rank <3), descrevo a solução parametricamente (uma ou mais variáveis livres) e dou a expressão explícita.

Passo 3

Calcular \det(A) (isso já dá informação importante):
\det(A)=\begin{vmatrix} 2a & 2 & -2\\[4pt] a+1 & -1 & c-1\\[4pt] 1-3a & -5 & c+3 \end{vmatrix}.
Faço a expansão por cofatores da primeira linha. Após calcular os menores e simplificar (mostrar passos de álgebra):
  • Menor correspondente a 2a: (-1)(c+3)-(c-1)(-5)=4(c-2).
  • Menor correspondente a 2 (com sinal -): obtém-se 4(ac+1).
  • Menor correspondente a -2: obtém-se -4(2a+1).
Substituindo:
\det(A)=2a\cdot 4(c-2)-2\cdot 4(ac+1)+(-2)\cdot\big(-4(2a+1)\big).
Simplificando:
\det(A)=8a(c-2)-8(ac+1)+8(2a+1).
Expandindo e agrupando os termos em ac e a:
\det(A)=8ac-16a-8ac-8+16a+8=0.
Conclusão importante: \det(A)=0 para todos os valores de a e c. Portanto a matriz A é sempre singular e o sistema nunca terá solução única (nunca é SPD). Só podem ocorrer SPI (infinitas soluções) ou SI (sem solução).]

Passo 4

Operações de Gauss (redução simbólica) para investigar consistência e encontrar as soluções quando existirem.
Começo com a matriz aumentada original. Faço as combinações
R_2'\leftarrow (2a)R_2-(a+1)R_1, \qquad R_3'\leftarrow (2a)R_3-(1-3a)R_1.
Essas operações anulam a primeira coluna nas linhas 2 e 3 (são combinações válidas — não dividimos por zero aqui, apenas combinamos linhas). Calculando cada entrada dessas linhas (mostro os cálculos):
  • Segunda coluna em ambas as linhas:
(2a)(-1)-(a+1)\cdot 2=-2(2a+1).
  • Terceira coluna em ambas as linhas:
(2a)(c-1)-(a+1)(-2)=2(ac+1).
  • Entrada do lado direito (vetor B) em ambas as linhas:
(2a)(2a)-(a+1)(a+2)=3a^2-3a-2.
Portanto, após essas operações as linhas 2 e 3 tornam-se idênticas:
R_2' = R_3' = \bigl[\,0,\\\ -2(2a+1),\\\ 2(ac+1)\\ \bigm|\\\ 3a^2-3a-2\,\bigr].
Isso mostra imediatamente que o rank da matriz de coeficientes é no máximo 2, e as linhas 2 e 3 não trazem restrições independentes adicionais.

Passo 5

Análise das possibilidades de consistência a partir da linha comum R_2'.
A linha R_2' fornece a equação (dividindo por 2, para ficar mais simples):
-(2a+1)\,x_2 + (ac+1)\,x_3 = \frac{3a^2-3a-2}{2}.
Denotando as incógnitas por x_1,x_2,x_3, essa é uma das equações finais após eliminação. As possibilidades são:
  1. Se ambos coeficientes da esquerda dessa equação forem zero, ou seja
2a+1=0 \quad\text{e}\quad ac+1=0,
então a parte esquerda é 0 e obtemos 0 = \dfrac{3a^2-3a-2}{2}. Vamos resolver esse sistema:
  • 2a+1=0 a=-\tfrac{1}{2}.
  • Substituindo em ac+1=0 c=2.
    Para a=-\tfrac12 compute 3a^2-3a-2 = 3\cdot\tfrac14 -3\cdot(-\tfrac12)-2 = \tfrac34 +\tfrac32 -2 = \tfrac14\neq0. Logo obtemos 0=\tfrac14, CONTRADIÇÃO. Portanto quando a=-\tfrac12 e c=2 surge uma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0\mid \tfrac14], isto é, 0=\tfrac14: o sistema é inconsistente (SI).
  1. Em qualquer outro caso (isto é, sempre que não ocorrer simultaneamente a=-\tfrac12 e c=2), a linha R_2' tem pelo menos um coeficiente não nulo e fornece uma equação linear independente — o rank da matriz de coeficientes é 2 e o rank da matriz aumentada também é 2 (pois R_2' e R_1 são compatíveis). Como há 3 incógnitas, teremos uma família de soluções com um parâmetro livre: infinitas soluções (SPI).
Resumindo a classificação:
  • Para (a,c)=\bigl(-\tfrac12,\,2\bigr): sistema sem solução (SI).
  • Para todos os demais pares (a,c): sistema com infinitas soluções (SPI).
  • Nunca SPD (nunca solução única), porque \det(A)=0 sempre.

Passo 6

Construção explícita da solução paramétrica (caso SPI). Vou obter a solução quando (a,c)\neq(-\tfrac12,2). Tomo como variável livre x_3=t\in\mathbb{R}. Da equação obtida em R_2' (antes de dividir por zero), escrevo:
-(2a+1)\,x_2 + (ac+1)\,t = \frac{3a^2-3a-2}{2}.
Despejando x_2 (válido sempre que 2a+1\neq0; se 2a+1=0 tratarei separado abaixo — mas já tratei a situação singular simultânea com ac+1 antes):
x_2=\frac{2(ac+1)\,t-(3a^2-3a-2)}{2(2a+1)}.
Esta fórmula é válida para todo a tal que 2a+1\neq0 (isto é, a\neq -\tfrac12). Note que quando a=0 a fórmula dá x_2=t+1, que coincide com o caso particular que veremos a seguir.
Agora uso a primeira equação (linha 1 original) para obter x_1. A linha 1 original dá:
2a\,x_1 + 2x_2 -2x_3 = a+2.
Logo, para a\neq0,
x_1=\frac{a+2 -2x_2 +2t}{2a}.
Se a=0 precisamos tratar separadamente porque essa expressão divide por zero; no caso a=0 a linha 1 original não envolve x_1 e dá uma equação entre x_2 e x_3:
2x_2 -2x_3 = 2 \quad\Longrightarrow\quad x_2=1+t.
Substituindo esse x_2 em linha 2 (ou em qualquer outra) encontra-se então
x_1 = 1 + (2-c)\,t .
Portanto, conjunto unificado de soluções (para (a,c)\neq(-\tfrac12,2)):
  • Para a\neq -\tfrac12 e a\neq 0: tomar x_3=t livre e
x_2=\frac{2(ac+1)\,t-(3a^2-3a-2)}{2(2a+1)},\qquad x_1=\frac{a+2 -2x_2 +2t}{2a}.
  • Para a=0 (caso particular incluído em \,a\neq -\tfrac12) tomar x_3=t livre e
x_2=1+t,\qquad x_1=1+(2-c)\,t.
  • Para a=-\tfrac12 mas c\neq2: a redução específica com a=-\tfrac12 dá (como verificado antes) que x_2 e x_1 ficam lineares em t com a mesma fórmula que se obtém limitando a expressão geral; explicitamente, para a=-\tfrac12,\,c\neq2 temos uma solução parâtrica com um grau de liberdade (ver passo 5 e exemplo de redução naquele caso).
(Observação prática: se quiser um vetor solução particular escolha t=0 e substitua na fórmula para obter um particular; a família é então toda \{ X(t)=X_{\text{part}} + t\,v\}.)

Passo 7

Resposta didática para (b): o que a matriz singular significa para determinante e inversa.
  • Como vimos no Passo 3, \det(A)=0 para todos os a e c. Portanto a matriz A é sempre singular.
  • Consequência: A^{-1} não existe para nenhum valor de a,c. Uma matriz tem inversa se e somente se seu determinante for diferente de zero; aqui esse não é o caso.
  • Interpretação no contexto dos sistemas A X=B: se \det(A)\neq0 teria-se sempre solução única X=A^{-1}B. Como \det(A)=0 nunca, nunca podemos obter solução única via A^{-1}B; as soluções, quando existirem, formam uma família com parâmetros (quando consistentes) ou não existem.

Passo 8

Resposta didática para (c): como usar Gauss–Jordan para obter A^{-1} e o que ocorre aqui.
Procedimento geral para obter A^{-1} (quando existir):
  1. Formar a matriz ampliada [A\mid I], isto é, concatenar à direita a matriz identidade I_3.
  2. Aplicar operações elementares de linha (as mesmas do Gauss–Jordan) tentando reduzir a parte esquerda de [A\mid I] à matriz identidade I_3.
  3. Se for possível reduzir a parte esquerda a I_3, a parte direita terá sido transformada em A^{-1}. Se em algum passo a parte esquerda não puder ser reduzida a I_3 (por exemplo porque aparece uma linha nula à esquerda), então A não é invertível e o processo falha.
No caso concreto desta questão:
  • Como \det(A)=0, ao aplicar Gauss–Jordan sobre [A\mid I] a parte esquerda nunca se tornará I_3; ao invés disso obter-se-á no máximo uma forma com duas linhas independentes (rank =2) e uma linha nula, e portanto não haverá inversa. Assim o procedimento detectaria a singularidade (apareceria uma linha [0\\\ 0\\\ 0\mid *] na parte esquerda) e a conclusão correta seria que A^{-1} não existe.
  • Em resumo: o método de Gauss–Jordan serve para encontrar A^{-1} quando A é invertível; aqui, ao aplicá-lo, o processo mostraria que não se consegue reduzir a esquerda a I_3, confirmando que A não tem inversa.

Resposta

(a) Para (a,c)=\bigl(-\tfrac12,\,2\bigr)\): SI (nenhuma solução). Para todos os demais pares \((a,c)\): SPI (infinitas soluções). A solução paramétrica (tomando \(x_3=t\)) é, para \(a\neq -\tfrac12\), \[x_2=\frac{2(ac+1)\,t-(3a^2-3a-2)}{2(2a+1)},\qquad \begin{cases} x_1=\dfrac{a+2-2x_2+2t}{2a}, & a\neq0,\\[8pt] x_1=1+(2-c)\,t, & a=0, \end{cases}
com t\in\mathbb{R}\]. (b) \(\det(A)=0 para todos a,c; logo A é sempre singular e A^{-1} não existe para nenhum valor de a,c.
(c) Procedimento: formar [A\mid I] e aplicar Gauss–Jordan para reduzir a esquerda a I; se obtiver I a direita será A^{-1}. Aqui, como \det(A)=0, essa redução não é possível e o método mostra que A^{-1} não existe.]

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