Calcule a matriz Hessian a e a form a quadrática Hessian a para as seguintes funções nos pontos especificados.
(a) f(x, y)=x^{2}+2 x y-y^{2} ;(4,1)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f(x,y)=x^{2}+2xy-y^{2} no ponto (4,1):
  • Calcular a matriz Hessiana de f no ponto (4,1).
  • Calcular a forma quadrática Hessiana associada (ou seja, a forma quadrática dada pela matriz Hessiana) — e expressá‑la de forma explícita.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=x^{2}+2xy-y^{2}.
  • O ponto onde devemos avaliar é (4,1).

Passo 2

O que é a matriz Hessiana (lembrando devagarinho)? A matriz Hessiana de uma função f(x,y) é a matriz formada pelas segundas derivadas parciais, ordenada assim:
H_f(x,y)=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} & \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \\[6pt] \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} & \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \end{pmatrix}.
Ou seja, calcular a Hessiana é calcular todas as segundas derivadas parciais e colocá‑las nessa matriz. Não se assusta: aqui são derivadas simples.]

Passo 3

Primeiro calculemos as derivadas parciais de primeira ordem (passo intermediário necessário):
  • Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+2xy-y^{2}\bigr)=2x+2y.
Explicando: x^{2} vira 2x, 2xy vira 2y (pois trata-se de derivar em x mantendo y fixo) e -y^{2} é constante em x, portanto derivada zero.
  • Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+2xy-y^{2}\bigr)=2x-2y.
Explicando: 2xy derivado em y vale 2x e -y^{2} vira -2y; x^{2} é constante em y.

Passo 4

Agora calculemos as segundas derivadas (as entradas da Hessiana):
  • \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=\dfrac{\partial}{\partial x}(2x+2y)=2.
    (Derivada de 2x é 2, de 2y em relação a x é zero.)
  • \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=\dfrac{\partial}{\partial y}(2x-2y)=-2.
    (Derivada de -2y é -2, de 2x em relação a y é zero.)
  • \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(2x+2y)=2.
  • \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(2x-2y)=2.
Note que \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} (simetria esperada quando as derivadas são contínuas).

Passo 5

Montando a matriz Hessiana geral (que aqui é constante, independe de (x,y) porque as segundas derivadas são constantes):
H_f(x,y)=\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]2 & -2\end{pmatrix}.
Como as entradas não dependem de x,y, a Hessiana no ponto (4,1) é a mesma:
H_f(4,1)=\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]2 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 6

O que é a “forma quadrática Hessiana”? Há duas convenções que aparecem em livros:
  • A forma quadrática associada à Hessiana usada para testar definitude costuma ser Q(h)=h^{T}H h, onde h é um vetor de deslocamento h=(h_{1},h_{2})^{T}.
  • Na expansão de Taylor de segunda ordem aparece a expressão \tfrac{1}{2}h^{T}H h como termo de segunda ordem. Ambas as expressões são relacionadas; a escolha depende do contexto. Aqui vou dar explicitamente Q(h)=h^{T}H h (convenção comum para formar e analisar a forma quadrática). Se desejar a versão com o fator \tfrac{1}{2}, basta multiplicar por \tfrac{1}{2}.

Passo 7

Calculemos a forma quadrática Q(h)=h^{T}H h. Seja h=\begin{pmatrix}h_{1}\\[4pt]h_{2}\end{pmatrix}. Então
Hh=\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]2 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}h_{1}\\[4pt]h_{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2h_{1}+2h_{2}\\[4pt]2h_{1}-2h_{2}\end{pmatrix}.
Agora faça o produto escalar h^{T}(Hh):
Q(h)=\begin{pmatrix}h_{1} & h_{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2h_{1}+2h_{2}\\[4pt]2h_{1}-2h_{2}\end{pmatrix} = h_{1}(2h_{1}+2h_{2})+h_{2}(2h_{1}-2h_{2}).
Simplificando:
Q(h)=2h_{1}^{2}+2h_{1}h_{2}+2h_{1}h_{2}-2h_{2}^{2}=2h_{1}^{2}+4h_{1}h_{2}-2h_{2}^{2}.]

Passo 8

É comum escrever a forma quadrática em termos dos incrementos em torno do ponto onde avaliamos. Se escrevermos h=(x-4,y-1), então a forma quadrática Hessiana centrada em (4,1) é
Q(x-4,y-1)=2(x-4)^{2}+4(x-4)(y-1)-2(y-1)^{2}.
E, lembrando, a versão que aparece no termo de segunda ordem da expansão de Taylor seria \tfrac{1}{2}Q(h).

Resposta

H_f(4,1)=\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]2 & -2\end{pmatrix}
Q(h)=2h_{1}^{2}+4h_{1}h_{2}-2h_{2}^{2}\quad\text{(para }h=(h_{1},h_{2})^{T}\text{; ou em termos de }(x,y):\;2(x-4)^{2}+4(x-4)(y-1)-2(y-1)^{2}\text{)}

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