Calcule a matriz Hessian a e a form a quadrática Hessian a para as seguintes funções nos pontos especificados.
(a) f(x, y)=x^{2}+2 x y-y^{2} ;(4,1)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função f(x,y)=x^{2}+2xy-y^{2} no ponto (4,1):
Calcular a matriz Hessiana de f no ponto (4,1).
Calcular a forma quadrática Hessiana associada (ou seja, a forma quadrática dada pela matriz Hessiana) — e expressá‑la de forma explícita.
Informações dadas:
A função é f(x,y)=x^{2}+2xy-y^{2}.
O ponto onde devemos avaliar é (4,1).
Passo 2
O que é a matriz Hessiana (lembrando devagarinho)? A matriz Hessiana de uma função f(x,y) é a matriz formada pelas segundas derivadas parciais, ordenada assim:
Note que \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} (simetria esperada quando as derivadas são contínuas).
Passo 5
Montando a matriz Hessiana geral (que aqui é constante, independe de (x,y) porque as segundas derivadas são constantes):
O que é a “forma quadrática Hessiana”? Há duas convenções que aparecem em livros:
A forma quadrática associada à Hessiana usada para testar definitude costuma ser Q(h)=h^{T}H h, onde h é um vetor de deslocamento h=(h_{1},h_{2})^{T}.
Na expansão de Taylor de segunda ordem aparece a expressão \tfrac{1}{2}h^{T}H h como termo de segunda ordem. Ambas as expressões são relacionadas; a escolha depende do contexto. Aqui vou dar explicitamente Q(h)=h^{T}H h (convenção comum para formar e analisar a forma quadrática). Se desejar a versão com o fator \tfrac{1}{2}, basta multiplicar por \tfrac{1}{2}.
Passo 7
Calculemos a forma quadrática Q(h)=h^{T}H h. Seja h=\begin{pmatrix}h_{1}\\[4pt]h_{2}\end{pmatrix}. Então
É comum escrever a forma quadrática em termos dos incrementos em torno do ponto onde avaliamos. Se escrevermos h=(x-4,y-1), então a forma quadrática Hessiana centrada em (4,1) é
Q(x-4,y-1)=2(x-4)^{2}+4(x-4)(y-1)-2(y-1)^{2}.
E, lembrando, a versão que aparece no termo de segunda ordem da expansão de Taylor seria \tfrac{1}{2}Q(h).