Calcule a matriz inversa de cada uma das matrizes dadas:
\quad B=\left[\begin{array}{ccc}-3 & 4 & -5 \\\\ 0 & -1 & 2 \\\\ 3 & -5 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a inversa da matriz
B = \begin{pmatrix} -3 & 4 & -5\\\\ 0 & -1 & 2\\\\ 3 & -5 & 4 \end{pmatrix}.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula
B^{-1} = \frac{1}{\det(B)}\,\mathrm{adj}(B),
ou seja, precisamos achar primeiro \det(B), depois a matriz de cofatores (cuja transposta é a adjunta) e, por fim, multiplicar por 1/\det(B).

Passo 2

Calcular \det(B) pela expansão pela primeira linha:
\det(B) = -3\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\\ -5 & 4\end{pmatrix} -4\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 2\\\ 3 & 4\end{pmatrix} -5\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -1\\\ 3 & -5\end{pmatrix}.
Agora os determinantes 2×2:
\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\\ -5 & 4\end{pmatrix} =(-1)\cdot4 - 2\cdot(-5)=6,
\det\begin{pmatrix}0 & 2\\\ 3 & 4\end{pmatrix} =0\cdot4 - 2\cdot3=-6,
\det\begin{pmatrix}0 & -1\\\ 3 & -5\end{pmatrix} =0\cdot(-5) - (-1)\cdot3=3.
Substituindo em \det(B):
\det(B) = -3\cdot6 - 4\cdot(-6) -5\cdot3 = -18 +24 -15 = -9.

Passo 3

Construir a matriz de cofatores C=(C_{ij}), onde
C_{ij} = (-1)^{i+j}\det(M_{ij}),
e M_{ij} é o menor obtido ao eliminar linha i e coluna j. Calculamos todos de uma vez:
C = \begin{pmatrix} +6 & +6 & +3\\\\ +9 & +3 & -3\\\\ +3 & +6 & +3 \end{pmatrix}.

Passo 4

A adjunta de B é \mathrm{adj}(B)=C^{T}, logo
\mathrm{adj}(B) =\begin{pmatrix} 6 & 9 & 3\\\\ 6 & 3 & 6\\\\ 3 & -3 & 3 \end{pmatrix}.
Então
B^{-1} = \frac{1}{\det(B)}\,\mathrm{adj}(B) = -\frac{1}{9} \begin{pmatrix} 6 & 9 & 3\\\\ 6 & 3 & 6\\\\ 3 & -3 & 3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} - \tfrac{2}{3} & -1 & -\tfrac{1}{3}\\[6pt] - \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3}\\[6pt] - \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.]

Resposta

B^{-1} =\begin{pmatrix} - \tfrac{2}{3} & -1 & -\tfrac{1}{3}\\\\ - \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3}\\\\ - \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.

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