Transforme as matrizes abaixo em matrizes unidades:
\quad A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ -2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & -2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & -2 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para transformar
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ -2 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & -2 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}
na matriz identidade de ordem 4 usando matrizes elementares (ou seja, operações de linha). Cada operação de linha corresponde a multiplicar à esquerda por uma matriz elementar E. Nosso objetivo é eliminar todos os elementos abaixo da diagonal principal de A até obter I_4.

Passo 2

Primeiro eliminamos o elemento -2 em posição (2,1) fazendo
R_2 \leftarrow R_2 + 2\,R_1.
A matriz elementar correspondente é
E_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
pois ela adiciona 2 vezes a primeira linha à segunda. Então
A^{(1)} = E_1\,A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & -2 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Em seguida eliminamos o 1 em (3,1) com
R_3 \leftarrow R_3 - 1\,R_1,
cuja matriz elementar é
E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ -1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Multiplicando, obtemos
A^{(2)} = E_2\,A^{(1)} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & -2 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora eliminamos o -2 em (3,2) via
R_3 \leftarrow R_3 + 2\,R_2,
com a matriz elementar
E_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Logo
A^{(3)} = E_3\,A^{(2)} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Em seguida eliminamos o 1 em (4,2) fazendo
R_4 \leftarrow R_4 - 1\,R_2,
cuja matriz elementar é
E_4 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Multiplicando, obtemos
A^{(4)} = E_4\,A^{(3)} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 6

Por fim, eliminamos o -2 em (4,3) com
R_4 \leftarrow R_4 + 2\,R_3,
e a matriz elementar é
E_5 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Fazendo
A^{(5)} = E_5\,A^{(4)} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I_4.

Resposta

As cinco matrizes elementares que transformam A em I_4 são
E_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ -1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad E_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
E_4 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad E_5 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}.

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