Transforme as matrizes abaixo em matrizes unidades:
\quad A=\left[\begin{array}{ccc}-3 & 4 & -5 \\\\ 0 & -1 & 2 \\\\ 3 & -5 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} -3 & 4 & -5\\\\ 0 & -1 & 2\\\\ 3 & -5 & 4 \end{pmatrix}
e pede para transformá-la em matriz unidade. Isso equivale a encontrar A^{-1} pelo método de Gauss–Jordan, ou seja, montar a matriz aumentada \bigl[A\mid I_3\bigr] e reduzi-la a \bigl[I_3\mid A^{-1}\bigr].

Passo 2

Montamos a matriz aumentada
\left[\begin{array}{ccc|ccc} -3 & 4 & -5 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 2 & 0 & 1 & 0\\\\ 3 & -5 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]

Passo 3

Zeramos as entradas abaixo da diagonal principal na parte esquerda:
R_3 \leftarrow R_3 + R_1, \qquad R_3 \leftarrow R_3 - R_2
obtendo
\left[\begin{array}{ccc|ccc} -3 & 4 & -5 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 2 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -3 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right]

Passo 4

Dividimos cada linha pelo pivô para ter 1 na diagonal:
R_1 \leftarrow -\tfrac{1}{3}R_1,\quad R_2 \leftarrow -R_2,\quad R_3 \leftarrow -\tfrac{1}{3}R_3
ficando
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -\tfrac{4}{3} & \tfrac{5}{3} & -\tfrac{1}{3} & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & -2 & 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3} \end{array}\right]

Passo 5

Eliminamos as entradas acima dos pivôs em colunas 2 e 3:
R_2 \leftarrow R_2 + 2\,R_3,\quad R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{5}{3}\,R_3,\quad R_1 \leftarrow R_1 + \tfrac{4}{3}\,R_2
e chegamos a
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{2}{3} & -1 & -\tfrac{1}{3}\\\\ 0 & 1 & 0 & -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3}\\\\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3} \end{array}\right].
A parte direita é A^{-1}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} -\tfrac{2}{3} & -1 & -\tfrac{1}{3}\\\\ -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3}\\\\ -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3} \end{pmatrix}

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