Calcule a matriz inversa de cada uma das matrizes dadas:
\quad C=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ -2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & -2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & -2 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a matriz inversa de
C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\[6pt] -2 & 1 & 0 & 0 \\[6pt] 1 & -2 & 1 & 0 \\[6pt] 0 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo é inversão de matriz triangular inferior unitária. Vamos usar o fato de que, se C é triangular inferior com diagonal de 1, então sua inversa X=C^{-1} também é triangular inferior unitária, e basta resolver
C\,X = I.]

Passo 2

Denotando por x^{(j)} a coluna j de X, resolvemos
C\,x^{(j)} = e_j,
onde e_j é o vetor canônico. Pelas componentes fica a recorrência
x^{(j)}_1 = \delta_{1j}, \quad x^{(j)}_i = \delta_{ij} \;-\;\sum_{k=1}^{i-1} c_{ik}\,x^{(j)}_k \quad(i=2,3,4).

Passo 3

Aplicando a recorrência para j=1 e j=2, obtemos
x^{(1)} = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\\\ 4\end{pmatrix}, \quad x^{(2)} = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}.

Passo 4

Fazendo o mesmo para j=3 e j=4, achamos
x^{(3)} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix}, \quad x^{(4)} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

C^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\[6pt] 2 & 1 & 0 & 0 \\[6pt] 3 & 2 & 1 & 0 \\[6pt] 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}.]

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