Calcule a matriz inversa de cada uma das matrizes dadas: \quad H=\left[\begin{array}{cccc}-1 & 2 & 0 & 8 \\\\ 0 & -1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede a inversa da matriz H, que é uma matriz triangular superior de ordem 4. O conteúdo principal aqui é a inversão de matrizes triangulares usando substituição retroativa (back-substitution). Sabemos que a inversa de uma matriz triangular superior também é triangular superior, e podemos encontrar suas entradas resolvendo H X = I coluna a coluna.
Passo 2
Como H é triangular superior, a inversa X=H^{-1} também será triangular superior. Em particular, as entradas da diagonal de X são
X_{ii} = \frac{1}{H_{ii}}.
Como em H temos H_{11}=H_{22}=H_{33}=H_{44}=-1, segue que
X_{11}=X_{22}=X_{33}=X_{44}=-1.
Passo 3
Para as entradas acima da diagonal usamos a fórmula, válida sempre que i<j: