Calcule a matriz inversa de cada uma das matrizes dadas:
\quad H=\left[\begin{array}{cccc}-1 & 2 & 0 & 8 \\\\ 0 & -1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz H, que é uma matriz triangular superior de ordem 4. O conteúdo principal aqui é a inversão de matrizes triangulares usando substituição retroativa (back-substitution). Sabemos que a inversa de uma matriz triangular superior também é triangular superior, e podemos encontrar suas entradas resolvendo H X = I coluna a coluna.

Passo 2

Como H é triangular superior, a inversa X=H^{-1} também será triangular superior. Em particular, as entradas da diagonal de X são
X_{ii} = \frac{1}{H_{ii}}.
Como em H temos H_{11}=H_{22}=H_{33}=H_{44}=-1, segue que
X_{11}=X_{22}=X_{33}=X_{44}=-1.

Passo 3

Para as entradas acima da diagonal usamos a fórmula, válida sempre que i<j:
X_{ij} = -\frac{1}{H_{ii}}\sum_{k=i+1}^{j} H_{ik}\,X_{kj}.
Vamos aplicar essa fórmula em ordem crescente de j-i.

Passo 4

Entradas com j-i=1:
Para X_{12}:
X_{12} = -\frac{1}{H_{11}}\,H_{12}X_{22} = -\frac{1}{-1}\,(2\cdot(-1)) = 2.
Para X_{23}:
X_{23} = -\frac{1}{H_{22}}\,H_{23}X_{33} = -\frac{1}{-1}\,(2\cdot(-1)) = 2.
Para X_{34}:
X_{34} = -\frac{1}{H_{33}}\,H_{34}X_{44} = -\frac{1}{-1}\,(1\cdot(-1)) = -1.

Passo 5

Entradas com j-i=2:
Para X_{13}:
X_{13} = -\frac{1}{H_{11}}\bigl(H_{12}X_{23} + H_{13}X_{33}\bigr) = -\frac{1}{-1}\bigl(2\cdot2 + 0\cdot(-1)\bigr) = 4.
Para X_{24}:
X_{24} = -\frac{1}{H_{22}}\bigl(H_{23}X_{34} + H_{24}X_{44}\bigr) = -\frac{1}{-1}\bigl(2\cdot(-1) + 1\cdot(-1)\bigr) = -\frac{1}{-1}(-2 -1) = 1.

Passo 6

Entrada com j-i=3:
Para X_{14}:
X_{14} = -\frac{1}{H_{11}}\bigl(H_{12}X_{24} + H_{13}X_{34} + H_{14}X_{44}\bigr) = -\frac{1}{-1}\bigl(2\cdot1 + 0\cdot(-1) + 8\cdot(-1)\bigr) = -(2 -8)=6
mas note o sinal da fórmula, portanto
X_{14}= -\frac{1}{-1}(2 -8)= -(-6)= -6.

Passo 7

Reunindo todas as entradas, a matriz inversa X=H^{-1} é
X = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 4 & -6\\\\ 0 & -1 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & -1 & -1\\\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Resposta

H^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 4 & -6\\\\ 0 & -1 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & -1 & -1\\\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

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