Calcule a matriz inversa de cada uma das matrizes dadas:
\quad A=\left[\begin{array}{cccc}-2 & -1 & 0 & 2 \\\\ 3 & 1 & -2 & -2 \\\\ -4 & -1 & 2 & 3 \\\\ 3 & 1 & -1 & -2\end{array}\right]

Passo 1

O problema pede a inversa de uma matriz 4\times4 usando eliminação de Gauss–Jordan. O conteúdo aqui é “inversão de matrizes” e vamos precisar montar a matriz aumentada \bigl[A\mid I\bigr] e aplicar operações elementares para chegar em \bigl[I\mid A^{-1}\bigr].

Passo 2

Começamos montando a matriz aumentada:
\bigl[A\mid I\bigr] = \left[\begin{array}{cccc|cccc} -2 & -1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 3 & 1 & -2 & -2& 0 & 1 & 0 & 0\\\\ -4 & -1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 3 & 1 & -1 & -2& 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 3

Usamos o pivô -2 em \text{R}_1. Primeiro, fazemos \text{R}_1\gets -\tfrac12\,\text{R}_1 para obter pivô 1:
\text{R}_1=\bigl[1,\tfrac12,0,-1\mid -\tfrac12,0,0,0\bigr].
Em seguida, eliminamos a coluna 1 nas demais linhas:
\begin{aligned} \text{R}_2&\gets\text{R}_2-3\,\text{R}_1 =\bigl[0,-\tfrac12,-2,1\mid \tfrac32,1,0,0\bigr],\\\ \text{R}_3&\gets\text{R}_3+4\,\text{R}_1 =\bigl[0,1,2,-1\mid -2,0,1,0\bigr],\\\ \text{R}_4&\gets\text{R}_4-3\,\text{R}_1 =\bigl[0,-\tfrac12,-1,1\mid \tfrac32,0,0,1\bigr]. \end{aligned}

Passo 4

Agora pivotamos em \text{R}_2 coluna 2, cujo elemento é -\tfrac12. Fazemos \text{R}_2\gets -2\,\text{R}_2:
\text{R}_2=\bigl[0,1,4,-2\mid -3,-2,0,0\bigr].
Eliminamos coluna 2 em \text{R}_1,\text{R}_3,\text{R}_4:
\begin{aligned} \text{R}_1&\gets\text{R}_1-\tfrac12\,\text{R}_2 =\bigl[1,0,-2,0\mid 1,1,0,0\bigr],\\\ \text{R}_3&\gets\text{R}_3-1\,\text{R}_2 =\bigl[0,0,-2,1\mid 1,2,1,0\bigr],\\\ \text{R}_4&\gets\text{R}_4+\tfrac12\,\text{R}_2 =\bigl[0,0,1,0\mid 0,-1,0,1\bigr]. \end{aligned}

Passo 5

Para pivotar em coluna 3, convém trocar \text{R}_3 e \text{R}_4 de modo a ter pivô 1:
\text{R}_3\leftrightarrow\text{R}_4.
Agora \text{R}_3=[0,0,1,0\mid0,-1,0,1] e \text{R}_4=[0,0,-2,1\mid1,2,1,0].
Eliminamos coluna 3 em \text{R}_1,\text{R}_2,\text{R}_4:
\begin{aligned} \text{R}_1&\gets\text{R}_1+2\,\text{R}_3 =\bigl[1,0,0,0\mid 1,-1,0,2\bigr],\\\ \text{R}_2&\gets\text{R}_2-4\,\text{R}_3 =\bigl[0,1,0,-2\mid -3,2,0,-4\bigr],\\\ \text{R}_4&\gets\text{R}_4+2\,\text{R}_3 =\bigl[0,0,0,1\mid 1,0,1,2\bigr]. \end{aligned}

Passo 6

Finalmente pivotamos em coluna 4 (já temos pivô 1 em \text{R}_4) e eliminamos em \text{R}_2:
\text{R}_2\gets\text{R}_2+2\,\text{R}_4 =\bigl[0,1,0,0\mid -1,2,2,0\bigr].
As linhas \text{R}_1,\text{R}_3,\text{R}_4 já têm zeros na coluna 4, então terminamos com
\bigl[I\mid A^{-1}\bigr] = \left[\begin{array}{cccc|cccc} 1&0&0&0 & 1 & -1 & 0 & 2\\\\ 0&1&0&0 & -1& 2 & 2 & 0\\\\ 0&0&1&0 & 0 & -1 & 0 & 1\\\\ 0&0&0&1 & 1 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right].

Resposta

A inversa de A é
A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 2\\\\ -1& 2 & 2 & 0\\\\ 0 & -1 & 0 & 1\\\\ 1 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.

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