Calcule a Matriz Inversa de [A].
[\mathrm{A}]=\begin{array}{rrr} 3 & 0 & -4 \\ 2 & 1 & 8 \\ 5 & 0 & 2 \end{array}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a matriz inversa de [\mathrm{A}]. A matriz fornecida é
[\mathrm{A}] = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -4 \\\\ 2 & 1 & 8 \\\\ 5 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Os elementos de [\mathrm{A}] estão explícitos (listei-os acima).
  • Para existir [\mathrm{A}]^{-1} a matriz precisa ser invertível (determinante diferente de zero). Vou verificar isso antes de tentar calcular a inversa.

Passo 2

Qual método usar? Existem dois métodos práticos: (i) eliminação de Gauss-Jordan aplicando operações elementares na matriz aumentada [\mathrm{A}\,|\,\mathrm{I}]; (ii) usar a fórmula [\mathrm{A}]^{-1} = \dfrac{1}{\det(\mathrm{A})}\operatorname{adj}(\mathrm{A}), onde \operatorname{adj}(\mathrm{A}) é a adjunta (transposta da matriz dos cofatores).
Escolhi o método da adjunta porque a matriz é 3\times3 e possui uma coluna com zeros que simplifica o cálculo do determinante e dos menores — assim fica mais direto e com menos cálculo de frações intermediárias. Vou explicar cada conceito à medida que for usando.

Passo 3

Primeiro: calcular \det(\mathrm{A}) para garantir invertibilidade. Uma maneira prática é expandir pela segunda coluna, que tem zeros nas linhas 1 e 3, o que simplifica. Lembrando: o determinante pela expansão pela coluna j é a soma dos elementos a_{ij} vezes seus cofatores C_{ij}.
A segunda coluna de \mathrm{A} é (0,1,0)^T. Então
\det(\mathrm{A}) = a_{21}\text{? — não}\quad\text{(usamos }a_{22}=1\text{)}.ã
Expandindo pela coluna 2,
\det(\mathrm{A}) = a_{12}\,C_{12} + a_{22}\,C_{22} + a_{32}\,C_{32}.
Como a_{12}=0 e a_{32}=0, só sobra o termo com a_{22}=1:
\det(\mathrm{A}) = a_{22}\cdot M_{22} = 1\cdot M_{22},
onde M_{22} é o determinante do menor obtido retirando linha 2 e coluna 2:
M_{22}=\det\begin{pmatrix}3 & -4\\[4pt]5 & 2\end{pmatrix} =3\cdot 2 - (-4)\cdot 5 = 6 + 20 = 26.
Portanto
\det(\mathrm{A}) = 26 \neq 0,
logo \mathrm{A} é invertível e a inversa existe.]

Passo 4

Agora vamos construir a matriz dos cofatores. Relembrando definições:
  • O menor M_{ij} é o determinante da submatriz que sobra ao remover a linha i e a coluna j.
  • O cofator C_{ij} é dado por C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
    Vou calcular M_{ij} e C_{ij} para todos os elementos i,j=1,2,3.
Cálculos dos menores e cofatores (cada determinante é 2\times2):
Para (i,j)=(1,1):
M_{11}=\det\begin{pmatrix}1 & 8\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}=1\cdot2-8\cdot0=2,
C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=+1\cdot2=2.
Para (i,j)=(1,2):
M_{12}=\det\begin{pmatrix}2 & 8\\[4pt]5 & 2\end{pmatrix}=2\cdot2-8\cdot5=4-40=-36,
C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1\cdot(-36)=36.
Para (i,j)=(1,3):
M_{13}=\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]5 & 0\end{pmatrix}=2\cdot0-1\cdot5=-5,
C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=+1\cdot(-5)=-5.
Para (i,j)=(2,1):
M_{21}=\det\begin{pmatrix}0 & -4\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}=0\cdot2-(-4)\cdot0=0,
C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-1\cdot0=0.
Para (i,j)=(2,2) (já calculado ao obter o determinante):
M_{22}=\det\begin{pmatrix}3 & -4\\[4pt]5 & 2\end{pmatrix}=26,\qquad C_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=+26.
Para (i,j)=(2,3):
M_{23}=\det\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]5 & 0\end{pmatrix}=3\cdot0-0\cdot5=0,
C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-1\cdot0=0.
Para (i,j)=(3,1):
M_{31}=\det\begin{pmatrix}0 & -4\\[4pt]1 & 8\end{pmatrix}=0\cdot8-(-4)\cdot1=4,
C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=+1\cdot4=4.
Para (i,j)=(3,2):
M_{32}=\det\begin{pmatrix}3 & -4\\[4pt]2 & 8\end{pmatrix}=3\cdot8-(-4)\cdot2=24+8=32,
C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=-1\cdot32=-32.
Para (i,j)=(3,3):
M_{33}=\det\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}=3\cdot1-0\cdot2=3,
C_{33}=(-1)^{3+3}M_{33}=+1\cdot3=3.
Assim a matriz dos cofatores C é
C=\begin{pmatrix} 2 & 36 & -5\\[4pt] 0 & 26 & 0\\[4pt] 4 & -32 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 5

A adjunta (ou adjugate) \operatorname{adj}(\mathrm{A}) é a transposta da matriz dos cofatores:
\operatorname{adj}(\mathrm{A}) = C^{T} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 4\\[4pt] 36 & 26 & -32\\[4pt] -5 & 0 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Finalmente, usar a fórmula da inversa:
[\mathrm{A}]^{-1} = \dfrac{1}{\det(\mathrm{A})}\operatorname{adj}(\mathrm{A}).
Como \det(\mathrm{A})=26, temos
[\mathrm{A}]^{-1} = \dfrac{1}{26}\begin{pmatrix} 2 & 0 & 4\\[4pt] 36 & 26 & -32\\[4pt] -5 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
Agora simplifico cada entrada quando possível:
\frac{2}{26}=\frac{1}{13},\quad \frac{4}{26}=\frac{2}{13},\quad \frac{36}{26}=\frac{18}{13},\quad \frac{26}{26}=1,\quad \frac{-32}{26}=-\frac{16}{13},
\frac{-5}{26}\\ \text{permanece}\\\ -\frac{5}{26},\qquad \frac{3}{26}\\ \text{permanece}\\ \frac{3}{26}.]

Resposta

[\mathrm{A}]^{-1}= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{13} & 0 & \dfrac{2}{13}\\[8pt] \dfrac{18}{13} & 1 & -\dfrac{16}{13}\\[8pt] -\dfrac{5}{26} & 0 & \dfrac{3}{26} \end{pmatrix}]

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