Calcule a matriz inversa A^-1 para a matriz A. Enconre todas soluções X do sistema de equações lineares A X=b (1,8 pontos)
A=(rrr -3 & 2 & 6 -2 & 2 & 5 1 & -2 & -3 ), b=(r -2 -1 2 )

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) calcular a inversa da matriz
A = -3 & 2 & 6 -2 & 2 & 5 1 & -2 & -3
e (ii) resolver o sistema ,A X = b com
b = -2-12
O conteúdo envolvido é matriz inversa e resolução de sistemas lineares via propriedade X = A^-1b. Vamos precisar verificar que A é invertível (determinante não nulo) e depois usar eliminação de Gauss–Jordan para achar A^-1.

Passo 2

Calcular o determinante de A para confirmar invertibilidade. Usando expansão pela primeira linha:
det(A) = -3det2&5-2&-3 -2det-2&51&-3 +6det-2&21&-2
Agora cada menor:
det2&5-2&-3=2cdot(-3)-5cdot(-2)=-6+10=4,
det-2&51&-3=(-2)cdot(-3)-5cdot1=6-5=1,
det-2&21&-2=(-2)cdot(-2)-2cdot1=4-2=2.
Portanto
det(A) = -3cdot4 ;-;2cdot1 ;+;6cdot2 = -12 -2 +12 = -2 neq 0
Como det(A)neq0, A é invertível.

Passo 3

Vamos montar a matriz aumentada [Amid I] e aplicar Gauss–Jordan para obter [Imid A^-1].
Inicialmente:
l[Amid Ir] = -3 & 2 & 6 &mid& 1&0&0 -2 & 2 & 5 &mid& 0&1&0 1 & -2 & -3 &mid& 0&0&1
Para facilitar, trocamos a linha 1 com a linha 3 (pivot em 1):
1 & -2 & -3 &mid& 0&0&1 -2 & 2 & 5 &mid& 0&1&0 -3 & 2 & 6 &mid& 1&0&0
Eliminamos abaixo do pivô da coluna 1:
  • L2 ← L2+2·L1
  • L3 ← L3+3·L1
1 & -2 & -3 &mid& 0 & 0 &1 0 & -2 & -1 &mid& 0 & 1 &2 0 & -4 & -3 &mid& 1 & 0 &3
Agora pivot em L2,C2 = -2. Eliminamos em L3: L3←L3−2·L2
1 & -2 & -3 &mid& 0 & 0 &1 0 & -2 & -1 &mid& 0 & 1 &2 0 & 0 & -1 &mid& 1 & -2 &-1
Em seguida tornamos cada pivô igual a 1:
  • L3←L3/(−1)
  • L2←L2/(−2)
1 & -2 & -3 &mid& 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 &mid& tfrac12 & -tfrac32 & -tfrac32 0 & 0 & 1 &mid& -1 & 2 & 1
Finalmente eliminamos acima dos pivôs em C2 e C3:
  • L1←L1+3·L3
  • L1←L1+2·L2
1 & 0 & 0 &mid& -2 & 3 & 1 0 & 1 & 0 &mid& tfrac12 & -tfrac32 & -tfrac32 0 & 0 & 1 &mid& -1 & 2 & 1
Da parte direita lemos
A^-1 = -2 & 3 & 1 tfrac12 & -tfrac32 & -tfrac32 -1 & 2 & 1

Passo 4

Agora resolvemos X = A^-1b. Com
b = -2-12,
temos
X = -2 & 3 & 1 tfrac12 & -tfrac32 & -tfrac32 -1 & 2 & 1 -2-12 = -2cdot(-2)+3cdot(-1)+1cdot2[6pt] tfrac12cdot(-2)+l(-tfrac32r)cdot(-1)+l(-tfrac32r)cdot2[6pt] -1cdot(-2)+2cdot(-1)+1cdot2 = 3 -tfrac52 2
Como det(A)neq0, esta é a única solução.]

Resposta

A^-1= -2 & 3 & 1 tfrac12 & -tfrac32 & -tfrac32 -1 & 2 & 1 ,
\quad
X=3-tfrac522

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