Defina todos valores de alpha para quais o sistema de equações lineares:
l -x1-x2+x3=-2 2 x1+x2+2(alpha-1) x3=0 x1+(alpha^2-1) x3=-alpha
não tem soluções. ( 1 , 5 pontos)

Passo 1

O enunciado pede os valores de
não admite solução. Para isso usamos o seguinte critério de teoria de sistemas lineares:
  1. Se a matriz de coeficientes ), o sistema tem solução única (logo é consistente).
  2. Se , devemos verificar a consistência analisando as matrizes e a aumentada :
    • se , o sistema é inconsistente (sem solução);
    • se , há infinitas soluções.

Passo 2

Calculemos det A. A matriz de coeficientes é
A= -1 & -1 & 1 2 & 1 & 2(alpha-1) 1 & 0 & alpha^2-1
Desenvolvendo por Laplace (por exemplo, pela primeira linha) chega-se a
det A=alpha(alpha-2)
Logo det Aneq0 para alphaneq0,2, e nesses casos o sistema tem solução única. Os únicos casos possíveis de inconsistência são alpha=0 ou alpha=2.

Passo 3

Analisemos
Fazendo eliminação:
  1. Multiplique a primeira equação por
  2. Subtraia duas vezes essa equação da segunda: obtemos
  3. Subtraia a primeira equação da terceira: obtemos

    Isso leva à contradição . Portanto e o sistema não tem solução quando .

Passo 4

Analisemos
Fazendo eliminação análoga, chega-se a uma linha nula, sem gerar contradição, o que implica
(\mathrm{rank},A=\mathrm{rank},[A\mid b]=2] e portanto existem infinitas soluções.

Resposta

O sistema não tem solução apenas para alpha=0.

Exercícios relacionados