Verdadeiro ou falso? Justifique as suas respostas. (3 pontos)
A relação binária
, definida para números racionais
é uma relação de equivalência no conjunto
de todos os números racionais.
A relação binária
Passo 1
O enunciado pergunta se a relação binária “
” em
é uma relação de equivalência. Para isso precisamos verificar as três propriedades: reflexividade, simetria e transitividade.
Passo 2
Verificamos a reflexividade. Por definição de “
” em números racionais, para todo
vale
Logo, a relação é reflexiva.
Passo 3
Verificamos a simetria. Para ser simétrica, sempre que
deveríamos ter
. Mas, por exemplo, para
e
temos
Isso mostra que a relação não é simétrica.
Passo 4
Podemos notar também que a relação é transitiva, pois se
e
então
. No entanto, como falha a simetria, já não pode ser equivalência.
Resposta
Falso.