Calcule a matriz inversa usando operações elementares
J=[lll-1 & -2 & -3 -2 & -4 & -5 -3 & -5 & -6]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a matriz inversa usando operações elementares. A matéria que estamos lidando aqui é Álgebra Linear, mais especificamente, o conceito de matrizes inversas e as operações elementares de linha. Para resolver isso, vamos precisar aplicar operações nas linhas da matriz original até transformá-la na matriz identidade, enquanto aplicamos as mesmas operações em uma matriz identidade paralela para obter a inversa no final.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz J e adicionar a ela a matriz identidade I ao lado. Isso cria uma matriz aumentada [ J | I ]:
[ccc|ccc -1 & -2 & -3 & 1 & 0 & 0 -2 & -4 & -5 & 0 & 1 & 0 -3 & -5 & -6 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

O objetivo agora é transformar a parte esquerda dessa matriz aumentada J na matriz identidade usando operações elementares de linha. As operações que podemos usar são:
  1. Trocar duas linhas.
  2. Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
  3. Adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha a outra linha.
Vamos começar pelo elemento a11 que já está como -1. Queremos que ele seja 1, então vamos multiplicar a primeira linha por -1.
R1 = -1 times R1
Após essa operação:
[ccc|ccc 1 & 2 & 3 & -1 & 0 & 0 -2 & -4 & -5 & 0 & 1 & 0 -3 & -5 & -6 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 4

Agora, vamos zerar os elementos abaixo de a11 (ou seja, os elementos a21 e a31 ). Para isso:
  • Para zerar a21 , adicione 2 vezes a primeira linha à segunda linha:
R2 = R2 + 2 times R1
  • Para zerar a31 , adicione 3 vezes a primeira linha à terceira linha:
R3 = R3 + 3 times R1
Aplicando essas operações:
[ccc|ccc 1 & 2 & 3 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 0 & 1 & 3 & -3 & 0 & 1 ]

Passo 5

Agora, vamos focar no segundo elemento da segunda linha. Porém, notamos que o elemento a22 é 0. Para resolver isso, vamos trocar a segunda linha com a terceira linha, para ter um elemento não zero na posição a22 .
R2 rightarrow R3
Após a troca:
[ccc|ccc 1 & 2 & 3 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & 3 & -3 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 ]

Passo 6

Com o elemento a22 = 1 , vamos agora zerar os elementos acima e abaixo dele na mesma coluna.
  • Para zerar a12 , subtraia 2 vezes a segunda linha da primeira linha:
R1 = R1 - 2 times R2
  • O elemento abaixo a22 já está zerado.
Aplicando a primeira operação:
[ccc|ccc 1 & 0 & -3 & 5 & 0 & -2 0 & 1 & 3 & -3 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 ]

Passo 7

Agora, vamos zerar os elementos acima e abaixo do elemento a33 = 1 .
  • Para zerar a13 , adicione 3 vezes a terceira linha à primeira linha:
R1 = R1 + 3 times R3
  • Para zerar a23 , subtraia 3 vezes a terceira linha da segunda linha:
R2 = R2 - 3 times R3
Aplicando essas operações:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -1 & 3 & -2 0 & 1 & 0 & 3 & -3 & 1 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 ]

Passo 8

Agora que a parte esquerda da matriz aumentada está na forma da matriz identidade, a parte direita se tornou a matriz inversa J^-1 . Portanto, a matriz inversa é:
J^-1 = -1 & 3 & -2 3 & -3 & 1 -2 & 1 & 0

Resposta

A matriz inversa de J é:
J^-1 = -1 & 3 & -2 3 & -3 & 1 -2 & 1 & 0

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