Calcule a matriz inversa usando operações elementares
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a matriz inversa usando operações elementares. A matéria que estamos lidando aqui é Álgebra Linear, mais especificamente, o conceito de matrizes inversas e as operações elementares de linha. Para resolver isso, vamos precisar aplicar operações nas linhas da matriz original até transformá-la na matriz identidade, enquanto aplicamos as mesmas operações em uma matriz identidade paralela para obter a inversa no final.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz J e adicionar a ela a matriz identidade I ao lado. Isso cria uma matriz aumentada [ J | I ]:
O objetivo agora é transformar a parte esquerda dessa matriz aumentada J na matriz identidade usando operações elementares de linha. As operações que podemos usar são:
Trocar duas linhas.
Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
Adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha a outra linha.
Vamos começar pelo elemento a11 que já está como -1. Queremos que ele seja 1, então vamos multiplicar a primeira linha por -1.
Agora, vamos focar no segundo elemento da segunda linha. Porém, notamos que o elemento a22 é 0. Para resolver isso, vamos trocar a segunda linha com a terceira linha, para ter um elemento não zero na posição a22 .
Agora que a parte esquerda da matriz aumentada está na forma da matriz identidade, a parte direita se tornou a matriz inversa J^-1 . Portanto, a matriz inversa é: