( 3,0 pontos) Considere o sistema linear com incógnitas x, y e z :
c x+y+t=1 -x+z=2 x+2 y+t=1 2 y+z+t=a
com quatro equações e quatro variáveis. Determinar, se possível, os valores de a para que o sistema tenha:
a) Solução única;
b) Várias soluções. Neste caso, determine o conjunto solução do sistema.
c) Nenhuma solução.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com quatro equações e quatro incógnitas x,y,z,t. O conteúdo é solução de sistemas lineares via eliminação de Gauss e discussão segundo o posto (rank) da matriz de coeficientes e da matriz aumentada. Vamos montar a matriz aumentada, eliminar variáveis e achar para quais valores de a o sistema é compatível e se tem solução única ou infinitas.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada do sistema
[cccc|c 1 & 1 & 0 & 1 & 1 -1& 0 & 1 & 0 & 2 1 & 2 & 0 & 1 & 1 0 & 2 & 1 & 1 & a ]
Eliminamos x em linha 2 somando linha 1, e em linha 3 subtraindo linha 1, obtendo
[cccc|c 1 & 1 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 1 & 3 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 1 & 1 & a ]

Passo 3

Agora usamos a nova linha 2 (com pivô em y) para zerar o y em linhas 1, 3 e 4:
  • L_{1} \leftarrow L_{1} - L_{2}
  • L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2}
  • L_{4} \leftarrow L_{4} - 2 \cdot L_{2}
    Isso dá
[cccc|c 1 & 0 & -1 & 0 & -2 0 & 1 & 1 & 1 & 3 0 & 0 & -1 & -1& -3 0 & 0 & -1 & -1& a-6 ]

Passo 4

Multiplicamos linha 3 por -1 e linha 4 por -1:
[cccc|c 1 & 0 & -1 & 0 & -2 0 & 1 & 1 & 1 & 3 0 & 0 & 1 & 1 & 3 0 & 0 & 1 & 1 & 6-a ]
As duas últimas linhas dizem
z + t = 3, z + t = 6 - a
Para o sistema ser compatível, precisamos de 3 = 6 - a, ou seja
a = 3

Passo 5

Se aneq3, as duas equações sobre z+t são contraditórias ( 3neq6-a), logo o sistema não tem solução.

Passo 6

Se a=3, as duas últimas linhas coincidem em z+t=3. Então o posto da matriz de coeficientes é 3 (há 3 pivôs) e há 4 incógnitas, de modo que o sistema tem infinitas soluções com um grau de liberdade.

Passo 7

Para a=3, reescrevemos as equações pivôs:
z + t = 3, y + z + t = 3, x - z = -2
Da primeira vem
z = 3 - t
Substituindo na segunda
y + (3 - t) + t = 3 ;Rightarrow; y = 0
Da terceira
x - (3 - t) = -2 ;Rightarrow; x = 1 - t
Logo o conjunto-
(x,y,z,t)=(1 - t,;0,;3 - t,;t)mid tinR

Resposta

a) Não existe valor de a que torne o sistema com solução única (posto <4 sempre).
b) O sistema tem infinitas soluções para a=3. Nesse caso
(x,y,z,t)=(1 - t,0,3 - t,t)mid tinR
c) O sistema não tem solução para aneq3.

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