( 3,0 pontos) Considere o sistema linear com incógnitas :
com quatro equações e quatro variáveis. Determinar, se possível, os valores de a para que o sistema tenha:
a) Solução única;
b) Várias soluções. Neste caso, determine o conjunto solução do sistema.
c) Nenhuma solução.
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear com quatro equações e quatro incógnitas x,y,z,t. O conteúdo é solução de sistemas lineares via eliminação de Gauss e discussão segundo o posto (rank) da matriz de coeficientes e da matriz aumentada. Vamos montar a matriz aumentada, eliminar variáveis e achar para quais valores de a o sistema é compatível e se tem solução única ou infinitas.
Para o sistema ser compatível, precisamos de 3 = 6 - a, ou seja
a = 3
Passo 5
Se aneq3, as duas equações sobre z+t são contraditórias (3neq6-a), logo o sistema não tem solução.
Passo 6
Se a=3, as duas últimas linhas coincidem em z+t=3. Então o posto da matriz de coeficientes é 3 (há 3 pivôs) e há 4 incógnitas, de modo que o sistema tem infinitas soluções com um grau de liberdade.
Passo 7
Para a=3, reescrevemos as equações pivôs:
z + t = 3, y + z + t = 3, x - z = -2
Da primeira vem
z = 3 - t
Substituindo na segunda
y + (3 - t) + t = 3 ;Rightarrow; y = 0
Da terceira
x - (3 - t) = -2 ;Rightarrow; x = 1 - t
Logo o conjunto-
(x,y,z,t)=(1 - t,;0,;3 - t,;t)mid tinR
Resposta
a) Não existe valor de a que torne o sistema com solução única (posto <4 sempre).
b) O sistema tem infinitas soluções para a=3. Nesse caso