Seja T: R^2 R^2 um operador linear definido por T(x, y)=(a x+b y, c x+d y). Determine as constantes a, b, c e d de modo que T(1,2)=(1,1) e T(3,4)=(2,2).

Passo 1

O enunciado dá um operador linear Tcolon R^2toR^2 definido por
T(x,y) = (a x + b y,; c x + d y)
e pede que T(1,2)=(1,1) e T(3,4)=(2,2). Para determinar a,b,c,d vamos traduzir essas condições em sistemas lineares e resolvê-los.

Passo 2

Das condições temos os seguintes sistemas:
a + 2b = 1, 3a + 4b = 2, c + 2d = 1, 3c + 4d = 2

Passo 3

Para a,b: da primeira equação segue a = 1 - 2b. Substituindo em 3a + 4b = 2
3(1 - 2b) + 4b = 2 ;Longrightarrow; 3 - 6b + 4b = 2 ;Longrightarrow; -2b = -1 ;Longrightarrow; b = tfrac12,
logo a = 1 - 2cdottfrac12 = 0.

Passo 4

De modo análogo para c,d: c = 1 - 2d e inserindo em 3c + 4d = 2 obtemos
3(1 - 2d) + 4d = 2 ;Longrightarrow; 3 - 6d + 4d = 2 ;Longrightarrow; -2d = -1 ;Longrightarrow; d = tfrac12,
logo c = 1 - 2cdottfrac12 = 0.

Resposta

a=0, b=tfrac12, c=0, d=tfrac12.

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