Calcule a matriz inversa usando operações elementares
N=[rrr1 & -2 & -4 -2 & -1 & 2 3 & 0 & -5]

Passo 1

Beleza, vamos calcular a matriz inversa da matriz N=[rrr1 & -2 & -4 -2 & -1 & 2 3 & 0 & -5] usando operações elementares. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o método de eliminação de Gauss-Jordan. Vamos precisar transformar a matriz N em uma matriz identidade enquanto aplicamos as mesmas operações na matriz identidade para obter a inversa.

Passo 2

Primeiro, precisamos montar uma matriz aumentada com a matriz N e a matriz identidade do mesmo tamanho. A matriz identidade para uma matriz 3x3 é:
I = [rrr 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ]
Então, a matriz aumentada fica:
[ccc|ccc 1 & -2 & -4 & 1 & 0 & 0 -2 & -1 & 2 & 0 & 1 & 0 3 & 0 & -5 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Nosso objetivo é transformar a parte esquerda da matriz aumentada na identidade. Começamos pelo primeiro elemento da primeira linha, que já é 1. Agora, vamos eliminar os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna.
Para eliminar o -2 na segunda linha, primeiro multiplicamos a primeira linha por 2 e adicionamos à segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 + 2 times Linha 1
Calculando:
-2 + 2 times 1 = 0 -1 + 2 times (-2) = -5 2 + 2 times (-4) = -6 0 + 2 times 1 = 2 1 + 2 times 0 = 1 0 + 2 times 0 = 0
A matriz fica:
[ccc|ccc 1 & -2 & -4 & 1 & 0 & 0 0 & -5 & -6 & 2 & 1 & 0 3 & 0 & -5 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 3 na terceira linha da primeira coluna. Para isso, multiplicamos a primeira linha por -3 e adicionamos à terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + (-3) times Linha 1
Calculando:
3 + (-3) times 1 = 0 0 + (-3) times (-2) = 6 -5 + (-3) times (-4) = 7 0 + (-3) times 1 = -3 0 + (-3) times 0 = 0 1 + (-3) times 0 = 1
A matriz agora é:
[ccc|ccc 1 & -2 & -4 & 1 & 0 & 0 0 & -5 & -6 & 2 & 1 & 0 0 & 6 & 7 & -3 & 0 & 1 ]

Passo 5

Vamos agora focar na segunda coluna. Primeiro, vamos tornar o elemento da segunda linha, segunda coluna igual a 1. Para isso, dividimos toda a segunda linha por -5:
Linha 2 = 1-5 times Linha 2
Calculando:
0 div -5 = 0 -5 div -5 = 1 -6 div -5 = 65 2 div -5 = -25 1 div -5 = -15 0 div -5 = 0
A matriz fica:
[ccc|ccc 1 & -2 & -4 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 65 & -25 & -15 & 0 0 & 6 & 7 & -3 & 0 & 1 ]

Passo 6

Agora, vamos eliminar os elementos acima e abaixo do 1 na segunda coluna. Primeiro, eliminamos o -2 na primeira linha:
Linha 1 = Linha 1 + 2 times Linha 2
Calculando:
1 + 2 times 0 = 1 -2 + 2 times 1 = 0 -4 + 2 times 65 = -4 + 125 = -85 1 + 2 times (-25) = 1 - 45 = 15 0 + 2 times (-15) = -25 0 + 2 times 0 = 0
A matriz fica:
[ccc|ccc 1 & 0 & -85 & 15 & -25 & 0 0 & 1 & 65 & -25 & -15 & 0 0 & 6 & 7 & -3 & 0 & 1 ]

Passo 7

Agora, eliminamos o 6 na terceira linha, segunda coluna:
Linha 3 = Linha 3 - 6 times Linha 2
Calculando:
0 - 6 times 0 = 0 6 - 6 times 1 = 0 7 - 6 times 65 = 7 - 365 = -15 -3 - 6 times (-25) = -3 + 125 = -35 0 - 6 times (-15) = 65 1 - 6 times 0 = 1
A matriz agora é:
[ccc|ccc 1 & 0 & -85 & 15 & -25 & 0 0 & 1 & 65 & -25 & -15 & 0 0 & 0 & -15 & -35 & 65 & 1 ]

Passo 8

Agora, vamos focar na terceira coluna. Primeiro, transformamos o elemento da terceira linha, terceira coluna em 1, multiplicando a terceira linha por -5:
Linha 3 = -5 times Linha 3
Calculando:
0 times -5 = 0 0 times -5 = 0 -15 times -5 = 1 -35 times -5 = 3 65 times -5 = -6 1 times -5 = -5
A matriz fica:
[ccc|ccc 1 & 0 & -85 & 15 & -25 & 0 0 & 1 & 65 & -25 & -15 & 0 0 & 0 & 1 & 3 & -6 & -5 ]

Passo 9

Agora, vamos eliminar os elementos acima do 1 na terceira coluna. Primeiro, eliminamos o -85 na primeira linha:
Linha 1 = Linha 1 + 85 times Linha 3
Calculando:
1 + 85 times 0 = 1 0 + 85 times 0 = 0 -85 + 85 times 1 = 0 15 + 85 times 3 = 15 + 245 = 5 -25 + 85 times (-6) = -25 - 485 = -10 0 + 85 times (-5) = -8
A matriz fica:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 5 & -10 & -8 0 & 1 & 65 & -25 & -15 & 0 0 & 0 & 1 & 3 & -6 & -5 ]
Em seguida, eliminamos o 65 na segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 - 65 times Linha 3
Calculando:
0 - 65 times 0 = 0 1 - 65 times 0 = 1 65 - 65 times 1 = 0 -25 - 65 times 3 = -25 - 185 = -4 -15 - 65 times (-6) = -15 + 365 = 7 0 - 65 times (-5) = 6
A matriz final fica:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 5 & -10 & -8 0 & 1 & 0 & -4 & 7 & 6 0 & 0 & 1 & 3 & -6 & -5 ]

Resposta

A matriz inversa de N é:
N^-1 = [ccc 5 & -10 & -8 -4 & 7 & 6 3 & -6 & -5 ]

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