Uma nutricionista está planejando um menu que inclui as comidas
e
como pratos principais. Suponha que cada grama da comida A contém 60 unidades de proteína, 30 unidades de ferro e 30 unidades de tiamina (vitamina B1); cada grama da comida B contém 30 unidades de proteína, 30 unidades de ferro e 90 unidades de tiamina. Suponha que cada grama de A custa 2 centavos, enquanto cada grama de B custa 3 centavos. O nutricionista quer que a refeição forneça pelo menos 360 unidades de proteína, pelo menos 270 unidades de ferro e pelo menos 450 unidades de tiamina. Responda: Quantos gramas de cada comida deveriam ser usadas para minimizar o custo das refeições?
a) Quais são as variáveis de decisão deste problema?
b) Quais são as restrições?
c) Supondo que deseja-se determinar quantos gramas de cada comida deveriam ser usadas para minimizar o custo das refeições, qual a função custo?
d) Determine o custo mínimo utilizando um solucionador solver de LMIs do Matlab.
e) Plote em um gráfico, cujos eixos sejam as variáveis de decisão, as retas que representam as frontei ras de factibilidade e indique a localização do ponto ótimo encontrado no item anterior.
a) Quais são as variáveis de decisão deste problema?
b) Quais são as restrições?
c) Supondo que deseja-se determinar quantos gramas de cada comida deveriam ser usadas para minimizar o custo das refeições, qual a função custo?
d) Determine o custo mínimo utilizando um solucionador solver de LMIs do Matlab.
e) Plote em um gráfico, cujos eixos sejam as variáveis de decisão, as retas que representam as frontei ras de factibilidade e indique a localização do ponto ótimo encontrado no item anterior.
Passo 1
Então olha só, a gente tem duas comidinhas, A e B, cada uma com proteína, ferro e tiamina diferentes, e preços também. O nutricionista quer atingir ao menos 360 u de proteína, 270 u de ferro e 450 u de tiamina, gastando o mínimo.
Conteúdo: programação linear (LP).
O que vamos precisar:
Conteúdo: programação linear (LP).
O que vamos precisar:
- Definir variáveis de decisão;
- Montar restrições que garantem as quantidades mínimas;
- Escrever a função custo a minimizar;
- Resolver o LP (método gráfico/vértices);
- Plotar as retas e achar o ponto ótimo.
Passo 2
Variáveis de decisão
Vamos chamar de
Vamos chamar de
Isso significa que qualquer solução é um par
.
Passo 3
Restrições
Cada grama de A dá 60 u de proteína, B dá 30 u. A gente precisa de pelo menos 360 u de proteína, então
Cada grama de A dá 60 u de proteína, B dá 30 u. A gente precisa de pelo menos 360 u de proteína, então
De ferro, A e B dão 30 u cada, precisa de ≥270 u:
De tiamina, A dá 30 u e B dá 90 u, precisa de ≥450 u:
E, claro, não faz sentido comprar quantidade negativa:
Aqui a teoria é: cada restrição é um semiplano; a região viável é a interseção desses semiplanos.
Passo 4
Função custo
Cada grama de A custa 2 centavos, cada grama de B custa 3 centavos. Queremos minimizar
Cada grama de A custa 2 centavos, cada grama de B custa 3 centavos. Queremos minimizar
Em LP, a gente busca o vértice da região viável que dá o menor valor dessa função linear.
Passo 5
Método gráfico / vértices
- Reescreve cada desigualdade como igualdade para achar as retas limite:
-
(dividi proteína por 30) -
-
-
- Encontra interseções dois a dois: esses são os candidatos (vértices).
Passo 6
Calcular interseções
- Entre
e :
- Entre
e :
mas aí
, viola ferro, descartamos.
3. Entre e
:
3. Entre
E ainda os pontos de interseção com eixos:
- Em
, todas dão . - Em
, todas dão .
Passo 7
Avaliar custo em cada ponto viável
-
: . -
: . -
: custo . -
: custo .
O menor é 21 centavos em.
Passo 8
Gráfico (esquemático)
- Plota as retas
•,
•,
•. - Região viável fica acima de todas elas e nos quadrantes positivos.
- Marca o ponto ótimo
.
Resposta
Use 6 g de A e 3 g de B. Custo mínimo = 21 centavos.