Sejam A(3,5), B e C os vértices do triangulo triang<= A B C, e M(2,1), N(4,2) e P(3,-2) os pontos médios dos lados A B, A C è B C, respetivamente. Calcular os pontos B e C.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos o triângulo ΔABC com A = (3,5). Os pontos médios são M de AB em (2,1), N de AC em (4,2) e P de BC em (3,−2). O que vamos usar aqui é geometria analítica: a fórmula do ponto médio e um sisteminha de equações para achar B e C.

Passo 2

Lembra da fórmula do ponto médio? Se A (xA,yA) e B (xB,yB), então
M ;=;l(tfracxA+xB2,,tfracyA+yB2r)
Vamos chamar B de (xB,yB) e C de (xC,yC) e aplicar essa fórmula em M e em N.

Passo 3

Como M(2,1) é o ponto médio de A(3,5) e B (xB,yB), montamos:
2 = 3 + xB2, 1 = 5 + yB2
Resolvendo passo a passo:
– Da primeira: 2 = tfrac3 + xB2!implies!3 + xB = 4!implies!xB = 1.
– Da segunda: 1 = tfrac5 + yB2!implies!5 + yB = 2!implies!yB = -3.
Logo, B = (1, −3).

Passo 4

Agora N(4,2) é ponto médio de A(3,5) e C (xC,yC):
4 = 3 + xC2, 2 = 5 + yC2
Resolvendo:
4 = tfrac3 + xC2!implies!3 + xC = 8!implies!xC = 5.
2 = tfrac5 + yC2!implies!5 + yC = 4!implies!yC = -1.
Logo, C = (5, −1).

Resposta

As coordenadas pedidas são
B = (1,,-3), C = (5,,-1)

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