Calcule a matriz que representa o operador
, o Hamiltoniano do sistema, na base
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a matriz que representa o operador
, que é o Hamiltoniano do sistema, na base
. Basicamente, vamos descobrir como o Hamiltoniano se comporta nesse conjunto de vetores. Para isso, vamos precisar entender como representar operadores através de matrizes usando produtos internos entre os vetores da base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para representar o operador
em uma base específica, precisamos calcular os elementos da matriz
usando os vetores da base. Esses elementos são dados por
, onde
e
são os vetores da base, no nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular cada elemento da matriz:
-
: Este é dado por . Aqui, estamos basicamente vendo como o Hamiltoniano age no estado e projetando de volta no mesmo estado . -
: Este é . Aqui, estamos vendo a ação do Hamiltoniano no estado e projetando no estado . -
: Similar ao anterior, . -
: Finalmente, .
Passo 4
Após calcular esses quatro elementos, montamos a matriz
da seguinte forma:
Cada entrada dessa matriz representa como o Hamiltoniano interage ou modifica os estados da base.
Resposta
Então, a matriz que representa o operador
, o Hamiltoniano do sistema, na base
é:
Para obter os valores numéricos específicos, precisaríamos conhecer a forma explícita do operador
. Mas, de modo geral, essa é a estrutura da matriz do Hamiltoniano na base dada!