Q5: Calcule a matriz A, sabendo que:
  • a_{11}=-6,
  • Núcleo A=\operatorname{span}\{(2,1,0),(-3,0,-1)\} e
  • Imagem A=\operatorname{span}\{(3,-2,3)\}.
A entrada a_{33} vale:
(A) 12
(B) 13
(C) 14
(D) 15
(E) 16
(F) 17
(G) 18
(H) 19

Passo 1

O enunciado fornece exatamente:
  • a_{11}=-6.
  • \ker A=\operatorname{span}\{(2,1,0),(-3,0,-1)\}.
  • \operatorname{Im}A=\operatorname{span}\{(3,-2,3)\}.
O que é pedido:
  • Determinar o valor de a_{33} (há opções de resposta listadas).

Passo 2

Primeira observação importante (contando dimensões): os geradores do núcleo são dois vetores independentes, então \dim\ker A=2. Como estamos em \mathbb{R}^3, pela relação dimensão do espaço = \dim\ker A+\dim\operatorname{Im}A obtemos
\dim\operatorname{Im}A = 3 - \dim\ker A = 3-2=1.
Como a imagem tem dimensão 1 e foi dada por \operatorname{span}\{(3,-2,3)\}, isso confirma coerência e nos diz que a matriz A tem posto 1.

Passo 3

Quando uma matriz tem posto 1 e sua imagem é \operatorname{span}\{v\} com v=(3,-2,3), todas as colunas de A são múltiplos de v. Isso significa que existem escalares c_1,c_2,c_3 tais que
\text{col}_1 = c_1 v,\qquad \text{col}_2 = c_2 v,\qquad \text{col}_3 = c_3 v.
Em forma de produto externo, podemos escrever
A = v\begin{pmatrix}c_1 & c_2 & c_3\end{pmatrix},
ou seja A = v w^{T} com w=(c_1,c_2,c_3). Aqui a ideia é simples: cada coluna é o mesmo vetor-direção v escalado por cada c_j.

Passo 4

Agora usemos as condições de núcleo. Se (2,1,0)\in\ker A, então
A\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}=2\,\text{col}_1+1\,\text{col}_2+0\,\text{col}_3=\mathbf{0}.
Substituindo \text{col}_j=c_j v obtemos a equação vetorial equivalente a uma equação escalar sobre os c_j:
2c_1+c_2=0.
Se (-3,0,-1)\in\ker A, então
A\begin{pmatrix}-3\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}=-3\,\text{col}_1-1\,\text{col}_3=\mathbf{0},
o que dá
-3c_1-c_3=0.

Passo 5

Resolvendo o sistema de escalares das relações achamos:
c_2=-2c_1,\qquad c_3=-3c_1.
Logo os coeficientes são todos proporcionais a c_1. Denotando t=c_1, temos
(c_1,c_2,c_3)=t(1,-2,-3).
Portanto as colunas de A são
\text{col}_1 = t v,\qquad \text{col}_2 = -2t\,v,\qquad \text{col}_3 = -3t\,v,
e a matriz pode ser escrita
A = t\,v\begin{pmatrix}1 & -2 & -3\end{pmatrix}.

Passo 6

Use agora a informação numérica a_{11}=-6. A entrada a_{11} é o primeiro componente da primeira coluna, isto é
a_{11} = (\text{col}_1)_1 = t\cdot v_1 = t\cdot 3.
Logo
3t = -6 \quad\Rightarrow\quad t=-2.

Passo 7

Com t=-2 calculamos as colunas explicitamente:
\text{col}_1 = -2v = -2(3,-2,3)=(-6,4,-6),
\text{col}_2 = -2(-2)v=4v=(12,-8,12),
\text{col}_3 = -2(-3)v=6v=(18,-12,18).
Portanto a matriz A é
A=\begin{pmatrix} -6 & 12 & 18\\[4pt] 4 & -8 & -12\\[4pt] -6 & 12 & 18 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Finalmente, lendo a entrada (3,3) da matriz acima:
a_{33}=18.
Isso corresponde à alternativa (\mathrm{G}).

Resposta

(G) 18

Exercícios relacionados