Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (-x+y+2 z,-x+2 y+4 z,-x+3 y+7 z).
Calcule B, a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{21} vale:
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 0
(F) 1
(G) 2
(H) 3
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
T(x,y,z)=(-x+y+2z,\,-x+2y+4z,\,-x+3y+7z)
e pede para calcular B, a matriz que representa a INVERSA de T. Em particular, a pergunta objetiva é: qual é o valor da entrada b_{21} de B?
Informações relevantes fornecidas:
A regra explícita de T (coeficientes das imagens de x,y,z).
A resposta pedida é a entrada na segunda linha e primeira coluna da matriz inversa B=A^{-1}, onde A é a matriz de T.
Passo 2
Vamos escrever a matriz A que representa T na base padrão. Cada coluna de A contém os coeficientes de T aplicados a um vetor da base padrão:
Antes de tentar inverter, confirmamos que A é invertível calculando seu determinante (se for diferente de zero, a inversa existe). Usamos a fórmula de expansão por cofatores (linha 1):
Como \det(A)=-1\neq 0, a matriz A é invertível e existe B=A^{-1}.
Passo 4
Uma maneira prática de obter uma coluna da inversa é resolver um sistema linear: a primeira coluna de B é o vetor v que satisfaz
A v = e_1,
onde e_1=(1,0,0)^T é o primeiro vetor da base canônica. Isso vem de A B = I: a multiplicação de A pela primeira coluna de B deve dar e_1. Como só precisamos de b_{21} (a entrada da segunda linha da primeira coluna de B), basta achar essa primeira coluna.
Passo 5
Seja v=(x_1,x_2,x_3)^T a primeira coluna de B. O sistema A v = e_1 dá as equações (escritas explicitamente):