Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (-x+y+2 z,-x+2 y+4 z,-x+3 y+7 z).
Calcule B, a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{21} vale:
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 0
(F) 1
(G) 2
(H) 3

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T(x,y,z)=(-x+y+2z,\,-x+2y+4z,\,-x+3y+7z)
e pede para calcular B, a matriz que representa a INVERSA de T. Em particular, a pergunta objetiva é: qual é o valor da entrada b_{21} de B?
Informações relevantes fornecidas:
  • A regra explícita de T (coeficientes das imagens de x,y,z).
  • A resposta pedida é a entrada na segunda linha e primeira coluna da matriz inversa B=A^{-1}, onde A é a matriz de T.

Passo 2

Vamos escrever a matriz A que representa T na base padrão. Cada coluna de A contém os coeficientes de T aplicados a um vetor da base padrão:
  • coluna 1 = coeficientes de x: (-1,-1,-1)^T,
  • coluna 2 = coeficientes de y: (1,2,3)^T,
  • coluna 3 = coeficientes de z: (2,4,7)^T.
Assim
A=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2\\[4pt] -1 & 2 & 4\\[4pt] -1 & 3 & 7 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Antes de tentar inverter, confirmamos que A é invertível calculando seu determinante (se for diferente de zero, a inversa existe). Usamos a fórmula de expansão por cofatores (linha 1):
\det(A)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).
Substituindo os elementos de A:
\det(A) = (-1)(2\cdot7-4\cdot3) - (1)((-1)\cdot7-4\cdot(-1)) + (2)((-1)\cdot3-2\cdot(-1)).
Calculando passo a passo:
(-1)(14-12) - (1)(-7+4) + 2(-3+2) = (-1)(2) - (1)(-3) + 2(-1) = -2 +3 -2 = -1.
Como \det(A)=-1\neq 0, a matriz A é invertível e existe B=A^{-1}.

Passo 4

Uma maneira prática de obter uma coluna da inversa é resolver um sistema linear: a primeira coluna de B é o vetor v que satisfaz
A v = e_1,
onde e_1=(1,0,0)^T é o primeiro vetor da base canônica. Isso vem de A B = I: a multiplicação de A pela primeira coluna de B deve dar e_1. Como só precisamos de b_{21} (a entrada da segunda linha da primeira coluna de B), basta achar essa primeira coluna.

Passo 5

Seja v=(x_1,x_2,x_3)^T a primeira coluna de B. O sistema A v = e_1 dá as equações (escritas explicitamente):
\begin{cases} -1\cdot x_1 + 1\cdot x_2 + 2\cdot x_3 = 1,\\[4pt] -1\cdot x_1 + 2\cdot x_2 + 4\cdot x_3 = 0,\\[4pt] -1\cdot x_1 + 3\cdot x_2 + 7\cdot x_3 = 0. \end{cases}]

Passo 6

Eliminamos x_1 subtraindo a primeira equação das segunda e terceira (assim -x_1 cancela):
Segunda menos primeira:
(-x_1+2x_2+4x_3)-(-x_1+x_2+2x_3)=0-1
que simplifica para
x_2+2x_3=-1. \tag{1}
Terceira menos segunda:
(-x_1+3x_2+7x_3)-(-x_1+2x_2+4x_3)=0-0
que simplifica para
x_2+3x_3=0. \tag{2}

Passo 7

Agora resolvemos as duas equações em x_2,x_3:
  • Subtraindo (1) de (2) ou simplesmente observando, fazemos (2) - (1):
(x_2+3x_3)-(x_2+2x_3)=0-(-1)\quad\Rightarrow\quad x_3=1.
  • Com x_3=1, da (2) temos
x_2 + 3\cdot 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_2 = -3.
  • Finalmente, voltamos à primeira equação original para achar x_1:
- x_1 + x_2 + 2x_3 = 1 \quad\Rightarrow\quad -x_1 + (-3) + 2\cdot 1 = 1.
Isso dá
-x_1 -1 = 1 \quad\Rightarrow\quad -x_1 = 2 \quad\Rightarrow\quad x_1 = -2.

Passo 8

Portanto a primeira coluna de B=A^{-1} é
\begin{pmatrix}-2\\[4pt]-3\\[4pt]1\end{pmatrix}.
A entrada b_{21} é o elemento da segunda linha dessa coluna, ou seja -3.]

Resposta

(B) -3

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