Q4: Seja T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}-x_{2}+2 x_{3}+x_{4}\right., \left.2 x_{1}-4 x_{2}+6 x_{3}+4 x_{4}, \quad-2 x_{1}+4 x_{2}-9 x_{3}-5 x_{4}\right).
A dimensão da imagem de T é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T\bigl(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\bigr)=\bigl(x_{1}-x_{2}+2x_{3}+x_{4},\;2x_{1}-4x_{2}+6x_{3}+4x_{4},\;-2x_{1}+4x_{2}-9x_{3}-5x_{4}\bigr).
O que é pedido: determinar a dimensão da imagem de T.
Informações relevantes fornecidas:
  • A transformação é dada coeficiente a coeficiente (todas as componentes lineares em x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}).
  • A imagem de T é um subespaço de \mathbb{R}^{3}; sua dimensão é um inteiro entre 0 e 3.
  • Temos que escolher entre as alternativas fornecidas (A) a (E).

Passo 2

Conceito útil (explicação didática): a imagem de uma transformação linear T é o conjunto de todos os vetores que aparecem como T(x) quando x varia em \mathbb{R}^{4}. A dimensão da imagem é igual ao posto (rank) da matriz que representa T na base canônica. Para obter essa matriz, escrevemos os coeficientes das componentes de T em uma matriz 3\times4 cujo produto por (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T} T(x). Vamos calcular essa matriz e o seu posto por eliminação de Gauss (redução por linhas).

Passo 3

Matriz associada A (pegando os coeficientes das três componentes de T nas colunas correspondentes a x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}):
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 1\\[4pt] 2 & -4 & 6 & 4\\[4pt] -2 & 4 & -9 & -5 \end{pmatrix}.
Observação: cada coluna de A é T(e_{j}), onde e_{j} é o j-ésimo vetor da base canônica de \mathbb{R}^{4}.]

Passo 4

Agora reduzimos A por linhas. Primeiro, usar R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1} e R_{3}\leftarrow R_{3}+2R_{1}. Escrevendo o resultado:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & -2 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 2 & -5 & -3 \end{pmatrix}.
Explicação: multiplicou-se a primeira linha por 2 e subtraiu-se de R_{2} para anular o primeiro elemento de R_{2}; e multiplicou-se a primeira linha por -2 e somou-se a R_{3} para anular o primeiro elemento de R_{3}. Essas operações preservam o espaço linha e o posto.]

Passo 5

Agora eliminamos o segundo elemento de R_{3} somando R_{2} em R_{3}:
R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{2}\quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & -2 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 0 & -3 & -1 \end{pmatrix}.
Explicação: ao somar R_{2} em R_{3} obtemos zero na posição (3,2), e a matriz passa para uma forma escalonada por linhas (row-echelon form).]

Passo 6

Interpretação da forma escalonada: existem pivôs (primeiros elementos não nulos de cada linha) em três linhas distintas:
  • pivô na linha 1, coluna 1;
  • pivô na linha 2, coluna 2;
  • pivô na linha 3, coluna 3.
    Cada linha não nula contribui com uma dimensão independente ao espaço linha; o número de pivôs é o posto da matriz. Assim, o posto de A é 3.
Argumento extra, se quiser checar independência: não é possível expressar a terceira linha como combinação linear das duas primeiras porque, na forma escalonada, cada pivô aparece em coluna nova (colunas 1, 2 e 3), mostrando independência linear das três linhas não nulas.

Passo 7

Conclusão lógica: a dimensão da imagem de T é igual ao posto de A, que é 3. Como a imagem está contida em \mathbb{R}^{3}, 3 é o máximo possível e de fato é atingido aqui.

Resposta

(D) 3

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