O que é pedido: determinar a dimensão da imagem de T.
Informações relevantes fornecidas:
A transformação é dada coeficiente a coeficiente (todas as componentes lineares em x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}).
A imagem de T é um subespaço de \mathbb{R}^{3}; sua dimensão é um inteiro entre 0 e 3.
Temos que escolher entre as alternativas fornecidas (A) a (E).
Passo 2
Conceito útil (explicação didática): a imagem de uma transformação linear T é o conjunto de todos os vetores que aparecem como T(x) quando x varia em \mathbb{R}^{4}. A dimensão da imagem é igual ao posto (rank) da matriz que representa T na base canônica. Para obter essa matriz, escrevemos os coeficientes das componentes de T em uma matriz 3\times4 cujo produto por (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T} dá T(x). Vamos calcular essa matriz e o seu posto por eliminação de Gauss (redução por linhas).
Passo 3
Matriz associada A (pegando os coeficientes das três componentes de T nas colunas correspondentes a x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}):
Explicação: multiplicou-se a primeira linha por 2 e subtraiu-se de R_{2} para anular o primeiro elemento de R_{2}; e multiplicou-se a primeira linha por -2 e somou-se a R_{3} para anular o primeiro elemento de R_{3}. Essas operações preservam o espaço linha e o posto.]
Passo 5
Agora eliminamos o segundo elemento de R_{3} somando R_{2} em R_{3}:
Explicação: ao somar R_{2} em R_{3} obtemos zero na posição (3,2), e a matriz passa para uma forma escalonada por linhas (row-echelon form).]
Passo 6
Interpretação da forma escalonada: existem pivôs (primeiros elementos não nulos de cada linha) em três linhas distintas:
pivô na linha 1, coluna 1;
pivô na linha 2, coluna 2;
pivô na linha 3, coluna 3.
Cada linha não nula contribui com uma dimensão independente ao espaço linha; o número de pivôs é o posto da matriz. Assim, o posto de A é 3.
Argumento extra, se quiser checar independência: não é possível expressar a terceira linha como combinação linear das duas primeiras porque, na forma escalonada, cada pivô aparece em coluna nova (colunas 1, 2 e 3), mostrando independência linear das três linhas não nulas.
Passo 7
Conclusão lógica: a dimensão da imagem de T é igual ao posto de A, que é 3. Como a imagem está contida em \mathbb{R}^{3}, 3 é o máximo possível e de fato é atingido aqui.