Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 240 graus e uma projeção T sobre o eixo x. A matrix que representa a transformação linear R T é:
(A) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & 0 \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares em \mathbb{R}^2 e pede a matriz de R T:
  • Rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 240^\circ.
  • Projeção T sobre o eixo x (ou seja, manda (x,y)\mapsto(x,0)).
A pergunta é: qual das matrizes listadas representa a transformação linear R T.

Passo 2

Entendendo o produto de transformações: a notação R T significa a composição R\circ T, ou seja, primeiro aplica-se T e depois R. Em termos de matrizes (na base canônica), a matriz de R T é o produto matricial
[R T]=[R]\,[T].
Vou calcular [R] e [T] e então multiplicar.

Passo 3

Matriz de rotação: Para um ângulo \theta em sentido anti-horário, a matriz de rotação é
[R]=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\[4pt] \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
Aqui \theta=240^\circ. Usando identidades trigonométricas:
\cos(240^\circ)=\cos(180^\circ+60^\circ)=-\cos(60^\circ)=-\tfrac{1}{2},
\sin(240^\circ)=\sin(180^\circ+60^\circ)=-\sin(60^\circ)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Substituindo em [R],
[R]=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2} & -\big(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big) \\[4pt] -\tfrac{\sqrt{3}}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2} & \tfrac{\sqrt{3}}{2} \\[4pt] -\tfrac{\sqrt{3}}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Matriz da projeção sobre o eixo x: a projeção T envia (x,y) em (x,0). Aplicando T às vetores da base canônica (1,0) e (0,1) obtém-se colunas da matriz:
  • T(1,0)=(1,0) → primeira coluna \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}.
  • T(0,1)=(0,0) → segunda coluna \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
    Logo
[T]=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora calculamos [R T]=[R]\,[T]. Uma maneira prática: as colunas do produto [R][T] são [R] vezes as colunas de [T]. As colunas de [T] são \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}. Portanto:
  • primeira coluna de [R T] = [R]\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} = primeira coluna de [R] = \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}.
  • segunda coluna de [R T] = [R]\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Assim
[R T]=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt]-\tfrac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{pmatrix}.
Para confirmar fazendo multiplicação direta de entradas:
[R T]=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2} & \tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt]-\tfrac{\sqrt{3}}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{2}\cdot 1 + \tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 0 & -\tfrac{1}{2}\cdot 0 + \tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 0\\[6pt] -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1 + (-\tfrac{1}{2})\cdot 0 & -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 0 + (-\tfrac{1}{2})\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt]-\tfrac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{pmatrix}.]

Passo 6

Comparei a matriz encontrada com as opções fornecidas: a opção que coincide com
\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt]-\tfrac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{pmatrix} é a alternativa (G). Boa! Isso significa que R rotaciona o vetor projetado no eixo x e a segunda coluna fica nula porque T zera a componente y.]

Resposta

(G) \left[\begin{array}{rr}-\tfrac{1}{2} & 0 \\[4pt] -\tfrac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{array}\right]]

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