Q10: Seja \theta o ângulo entre os vetores (2,1,-2,5) e (0,-4,4,-3) em \mathbb{R}^{4}. Assinale a alternativa correta:
(A) 0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 6
(B) \pi / 6<\theta \leqslant \pi / 4
(C) \pi / 4<\theta \leqslant \pi / 3
(D) \pi / 3<\theta \leqslant \pi / 2
(E) \pi / 2<\theta \leqslant 2 \pi / 3
(F) 2 \pi / 3<\theta \leqslant 3 \pi / 4
(G) 3 \pi / 4<\theta \leqslant 5 \pi / 6
(H) 5 \pi / 6<\theta \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado pede o ângulo \theta entre os vetores em \mathbb{R}^4 e a alternativa correta dentre as dadas. Informações fornecidas:
  • Vetor v = (2,1,-2,5).
  • Vetor w = (0,-4,4,-3).
  • Pergunta: em qual dos intervalos listados para \theta o ângulo entre v e w se encontra? (As alternativas vão de (A) até (H).)

Passo 2

Definição e fórmula que vou usar (explicadinha, sem pressa).
  • Produto interno (ou produto escalar) entre dois vetores v=(v_1,\dots,v_n) e w=(w_1,\dots,w_n) em \mathbb{R}^n é
\langle v,w\rangle = v_1 w_1 + v_2 w_2 + \cdots + v_n w_n.
Isto é só somar os produtos das componentes correspondentes.
  • Norma de um vetor v é a raiz quadrada do produto interno de v com ele mesmo:
\|v\| = \sqrt{\langle v,v\rangle} = \sqrt{v_1^2+\cdots+v_n^2}.
  • A fórmula que relaciona produto escalar e ângulo é (essa é a chave):
\langle v,w\rangle = \|v\|\,\|w\| \cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre v e w, com 0\le\theta\le\pi.
Portanto
\cos\theta = \dfrac{\langle v,w\rangle}{\|v\|\,\|w\|}.
Vou calcular \langle v,w\rangle, \|v\|, \|w\|, obter \cos\theta e então inferir em qual intervalo \theta está.

Passo 3

Calcular o produto interno \langle v,w\rangle aplicando a definição componente a componente:
\langle v,w\rangle = 2\cdot 0 + 1\cdot(-4) + (-2)\cdot 4 + 5\cdot(-3).
Agora faço cada produto e somo:
2\cdot 0 = 0,\quad 1\cdot(-4)=-4,\quad (-2)\cdot 4 = -8,\quad 5\cdot(-3)=-15.
Somando:
\langle v,w\rangle = 0 -4 -8 -15 = -27.

Passo 4

Calcular as normas \|v\| e \|w\|.
  • Para \|v\|:
\|v\|^2 = 2^2 + 1^2 + (-2)^2 + 5^2 = 4 + 1 + 4 + 25 = 34,
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\|v\| = \sqrt{34}.
  • Para \|w\|:
\|w\|^2 = 0^2 + (-4)^2 + 4^2 + (-3)^2 = 0 + 16 + 16 + 9 = 41,
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\|w\| = \sqrt{41}.

Passo 5

Calcular \cos\theta usando a fórmula:
\cos\theta = \dfrac{\langle v,w\rangle}{\|v\|\,\|w\|} = \dfrac{-27}{\sqrt{34}\,\sqrt{41}} = \dfrac{-27}{\sqrt{1394}}.
Observação: o numerador é negativo, então \cos\theta<0, portanto \theta é um ângulo obtuso ( \theta>\pi/2). Para colocar \theta no intervalo certo preciso comparar este valor com os cossenos das fronteiras das alternativas.

Passo 6

Em vez de calcular [\theta=\operatorname{arccos}\bigl(-27/\sqrt{1394}\bigr)) numericamente, eu vou comparar \cos\theta com valores conhecidos:
  • \cos\bigl(3\pi/4\bigr)=\cos(135^\circ) = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}.
  • \cos\bigl(5\pi/6\bigr)=\cos(150^\circ) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Quero verificar se
-\dfrac{27}{\sqrt{1394}} \begin{cases} < -\dfrac{1}{\sqrt{2}} &\text{(isto equivale a \(\theta>135^\circ)},\[4pt] > -\dfrac{\sqrt{3}}{2} &(isto equivale a \theta<150^\circ). \end{cases}]
Trabalhando com as magnitudes positivas (evita confusão com sinais). Primeiro comparar com -1/\sqrt{2}.
A desigualdade
-\dfrac{27}{\sqrt{1394}} < -\dfrac{1}{\sqrt{2}}
é equivalente (multiplicando por -1 e invertendo sinal) a
\dfrac{27}{\sqrt{1394}} > \dfrac{1}{\sqrt{2}}.
Como ambos os lados são positivos, posso elevar ao quadrado sem mudar a direção da desigualdade:
\left(\dfrac{27}{\sqrt{1394}}\right)^2 > \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2
\dfrac{729}{1394} > \dfrac{1}{2}.
Multiplicando por 1394:
729 \cdot 2 > 1394 \quad\Longleftrightarrow\quad 1458 > 1394,
que é verdade. Logo
-\dfrac{27}{\sqrt{1394}} < -\dfrac{1}{\sqrt{2}},
portanto \theta>135^\circ (isto é \theta>3\pi/4).
Agora comparar com -\sqrt{3}/2. A desigualdade
-\dfrac{27}{\sqrt{1394}} > -\dfrac{\sqrt{3}}{2}
é equivalente a
\dfrac{27}{\sqrt{1394}} < \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Elevando ao quadrado (ambos positivos):
\dfrac{729}{1394} < \dfrac{3}{4}.
Multiplicando por 1394:
729 \cdot 4 < 1394 \cdot 3 \quad\Longleftrightarrow\quad 2916 < 4182,
que é verdade. Portanto
-\dfrac{27}{\sqrt{1394}} > -\dfrac{\sqrt{3}}{2},
ou seja \theta<150^\circ (isto é \theta<5\pi/6).
Combinação das duas conclusões:
3\pi/4 < \theta < 5\pi/6.
Como as alternativas usam intervalos com as desigualdades dadas, isso coloca \theta estritamente entre 3\pi/4 e 5\pi/6. Note que a alternativa (G) é 3\pi/4<\theta\le 5\pi/6, o que contém o intervalo aberto que encontramos.]

Passo 7

Interpretação final: \theta é maior que 3\pi/4 e menor que 5\pi/6, logo pertence à alternativa (G).

Resposta

(G)

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