Q10: Seja
o ângulo entre os vetores
e
em
. Assinale a alternativa correta:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado pede o ângulo
entre os vetores em
e a alternativa correta dentre as dadas. Informações fornecidas:
- Vetor
. - Vetor
. - Pergunta: em qual dos intervalos listados para
o ângulo entre e se encontra? (As alternativas vão de (A) até (H).)
Passo 2
Definição e fórmula que vou usar (explicadinha, sem pressa).
- Produto interno (ou produto escalar) entre dois vetores
e em é
Isto é só somar os produtos das componentes correspondentes.
- Norma de um vetor
é a raiz quadrada do produto interno de com ele mesmo:
- A fórmula que relaciona produto escalar e ângulo é (essa é a chave):
onde
é o ângulo entre
e
, com
.
Portanto
Portanto
Vou calcular
,
,
, obter
e então inferir em qual intervalo
está.
Passo 3
Calcular o produto interno
aplicando a definição componente a componente:
Agora faço cada produto e somo:
Somando:
Passo 4
Calcular as normas
e
.
- Para
:
logo
- Para
:
logo
Passo 5
Calcular
usando a fórmula:
Observação: o numerador é negativo, então
, portanto
é um ângulo obtuso (
). Para colocar
no intervalo certo preciso comparar este valor com os cossenos das fronteiras das alternativas.
Passo 6
Em vez de calcular [\theta=\operatorname{arccos}\bigl(-27/\sqrt{1394}\bigr)) numericamente, eu vou comparar
com valores conhecidos:
-
. -
.
Quero verificar se
)},\[4pt] > -\dfrac{\sqrt{3}}{2} &(isto equivale a
). \end{cases}]
Trabalhando com as magnitudes positivas (evita confusão com sinais). Primeiro comparar com
.
A desigualdade
é equivalente (multiplicando por
e invertendo sinal) a
Como ambos os lados são positivos, posso elevar ao quadrado sem mudar a direção da desigualdade:
Multiplicando por
:
que é verdade. Logo
portanto
(isto é
).
Agora comparar com
. A desigualdade
é equivalente a
Elevando ao quadrado (ambos positivos):
Multiplicando por
:
que é verdade. Portanto
ou seja
(isto é
).
Combinação das duas conclusões:
Como as alternativas usam intervalos com as desigualdades dadas, isso coloca
estritamente entre
e
. Note que a alternativa (G) é
, o que contém o intervalo aberto que encontramos.]
Passo 7
Interpretação final:
é maior que
e menor que
, logo pertence à alternativa (G).
Resposta
(G)