Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 210 graus e uma reflexão T através do eixo x. A matrix que representa a transformação linear R T é:
(A) \left[\begin{array}{cc}-\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{rr}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}0 & \frac{1}{2} \\\\ 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rr}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\\\ -\frac{1}{2} & 0\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
Pedido: identificar qual das alternativas (A)–(H) é a matriz que representa a transformação linear R T, onde R é uma rotação e T é uma reflexão.
Dados:
R é rotação em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 210^\circ.
T é reflexão através do eixo x.
Observação importante para a resolução: a composição R T significa aplicar primeiro T e depois R.
Nada mais é pedido além de reconhecer qual matriz entre as alternativas representa essa composição.
Passo 2
Lembrete / aula rápida: matrizes associadas a rotações e reflexões em \mathbb{R}^2.
A matriz de uma rotação de ângulo \theta (sentido anti-horário) na base canônica é
Explicação: a coluna 1 é a imagem do vetor (1,0) e a coluna 2 é a imagem de (0,1); essas imagens são vetores de módulo 1 com ângulo deslocado por \theta.
Regra de composição e fórmula de multiplicação de matrizes.
Como R T representa primeiro aplicar T e depois R, a matriz da composição é o produto matricial R\cdot T.
Fórmula de multiplicação: se A=(a_{ij}) e B=(b_{jk}) então (AB)_{ik}=\sum_{j} a_{ij}b_{jk}. Em termos práticos, cada coluna de AB é A vezes a coluna correspondente de B.
Passo 6
Calcular R T por colunas (maneira concreta e fácil de fazer na prova).
A primeira coluna de T é \begin{bmatrix}1\\[2pt]0\end{bmatrix}. Multiplicando por R obtemos a primeira coluna de R T, que é simplesmente a primeira coluna de R:
Escrever a matriz final R T juntando as colunas calculadas.
R T = \begin{bmatrix} -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2}\\[6pt] -\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}.
(Comentário curto: cada entrada foi obtida seguindo a multiplicação de matrizes; essa forma é fácil de checar fazendo o produto linha por coluna também.)]
Passo 8
Comparar a matriz obtida com as alternativas e identificar qual é a correspondente.
A matriz obtida coincide exatamente com a alternativa que apresenta