Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 210 graus e uma reflexão T através do eixo x. A matrix que representa a transformação linear R T é:
(A) \left[\begin{array}{cc}-\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{rr}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}0 & \frac{1}{2} \\\\ 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rr}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\\\ -\frac{1}{2} & 0\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pedido: identificar qual das alternativas (A)–(H) é a matriz que representa a transformação linear R T, onde R é uma rotação e T é uma reflexão.
  • Dados:
    • R é rotação em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 210^\circ.
    • T é reflexão através do eixo x.
  • Observação importante para a resolução: a composição R T significa aplicar primeiro T e depois R.
    Nada mais é pedido além de reconhecer qual matriz entre as alternativas representa essa composição.

Passo 2

Lembrete / aula rápida: matrizes associadas a rotações e reflexões em \mathbb{R}^2.
  • A matriz de uma rotação de ângulo \theta (sentido anti-horário) na base canônica é
\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}.
Explicação: a coluna 1 é a imagem do vetor (1,0) e a coluna 2 é a imagem de (0,1); essas imagens são vetores de módulo 1 com ângulo deslocado por \theta.
  • A matriz da reflexão através do eixo x é
\begin{bmatrix} 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 \end{bmatrix},
porque (x,y)\mapsto(x,-y).]

Passo 3

Calcular \cos e \sin de 210^\circ.
  • 210^\circ = 180^\circ + 30^\circ. Usando identidades:
    • \cos(180^\circ+\alpha) = -\cos\alpha.
    • \sin(180^\circ+\alpha) = -\sin\alpha.
  • Para \alpha=30^\circ: \cos30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin30^\circ = \dfrac{1}{2}.
  • Logo
\cos210^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin210^\circ = -\frac{1}{2}.

Passo 4

Escrever explicitamente as matrizes de R e T usando os valores calculados.
  • Matriz de R:
R= \begin{bmatrix} \cos210^\circ & -\sin210^\circ\\[4pt] \sin210^\circ & \cos210^\circ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\left(-\dfrac{1}{2}\right)\\[6pt] -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2}\\[6pt] -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}.
  • Matriz de T:
T= \begin{bmatrix} 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 \end{bmatrix}.]

Passo 5

Regra de composição e fórmula de multiplicação de matrizes.
  • Como R T representa primeiro aplicar T e depois R, a matriz da composição é o produto matricial R\cdot T.
  • Fórmula de multiplicação: se A=(a_{ij}) e B=(b_{jk}) então (AB)_{ik}=\sum_{j} a_{ij}b_{jk}. Em termos práticos, cada coluna de AB é A vezes a coluna correspondente de B.

Passo 6

Calcular R T por colunas (maneira concreta e fácil de fazer na prova).
  • A primeira coluna de T é \begin{bmatrix}1\\[2pt]0\end{bmatrix}. Multiplicando por R obtemos a primeira coluna de R T, que é simplesmente a primeira coluna de R:
R\begin{bmatrix}1\\[2pt]0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\[6pt]-\dfrac{1}{2}\end{bmatrix}.
  • A segunda coluna de T é \begin{bmatrix}0\\[2pt]-1\end{bmatrix}=-\begin{bmatrix}0\\[2pt]1\end{bmatrix}. Então a segunda coluna de R T é
R\begin{bmatrix}0\\[2pt]-1\end{bmatrix}=-R\begin{bmatrix}0\\[2pt]1\end{bmatrix}=-\\ (\text{segunda coluna de }R).
A segunda coluna de R é \begin{bmatrix}\dfrac{1}{2}\\[6pt]-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{bmatrix}, então
-\begin{bmatrix}\dfrac{1}{2}\\[6pt]-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-\dfrac{1}{2}\\[6pt]\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{bmatrix}.]

Passo 7

Escrever a matriz final R T juntando as colunas calculadas.
R T = \begin{bmatrix} -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2}\\[6pt] -\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}.
(Comentário curto: cada entrada foi obtida seguindo a multiplicação de matrizes; essa forma é fácil de checar fazendo o produto linha por coluna também.)]

Passo 8

Comparar a matriz obtida com as alternativas e identificar qual é a correspondente.
  • A matriz obtida coincide exatamente com a alternativa que apresenta
\begin{bmatrix} -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2}\\[6pt] -\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}.]

Resposta

(A)

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