Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por:
H=\operatorname{span}\{(2,-1,0,0),(0,1,0,-2),(8,-6,0,4)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H )?
(A) \{(4,-3,3,-3),(1,2,4,1)\}
(B) \{(4,-3,3,-3)\}
(C) \{(1,2,4,1)\}
(D) \{(3,6,-4,3),(1,2,4,1)\}
(E) \{(3,6,-4,3),(-2,4,2,4)\}
(F) \{(3,6,-4,3)\}
(G) \{(4,-3,3,-3),(-2,4,2,4)\}
(H) \{(-2,4,2,4)\}

Passo 1

O enunciado dá o subespaço H\subset\mathbb{R}^4 gerado por três vetores e pede: qual dos conjuntos indicados é uma base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H)?
Dados:
  • v_1=(2,-1,0,0)
  • v_2=(0,1,0,-2)
  • v_3=(8,-6,0,4)
Pergunta do enunciado:
  • Qual das alternativas (A) a (H) é uma base de H^{\perp}?

Passo 2

Primeiro vamos ver se os vetores que geram H são linearmente independentes ou não (isso ajuda a saber a dimensão de H). Faço uma combinação simples para ver se v_3 pode ser escrito em termos de v_1 e v_2.
Calculo 4v_1-2v_2:
4v_1-2v_2 = 4(2,-1,0,0)-2(0,1,0,-2) = (8,-4,0,0)-(0,2,0,-4)=(8,-6,0,4).
Portanto
v_3 = 4v_1-2v_2.

Passo 3

Como v_3 é combinação linear de v_1 e v_2, temos que \{v_1,v_2,v_3\} tem posto 2. Logo
H=\operatorname{span}\{v_1,v_2\}
e \dim(H)=2. Em \mathbb{R}^4, portanto \dim(H^{\perp})=4-2=2. Conclusão prática: qualquer base de H^{\perp} deve ter exatamente 2 vetores (as alternativas com apenas 1 vetor não podem ser base).

Passo 4

O que é H^{\perp}? É o conjunto de todos os vetores x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4 que são ortogonais a todos os vetores de H. Basta exigir ortogonalidade a uma base de H, por exemplo a v_1 e v_2. A ortogonalidade usa o produto interno padrão:
x\cdot v = x_1 v_1^{(1)} + x_2 v_1^{(2)} + x_3 v_1^{(3)} + x_4 v_1^{(4)}.

Passo 5

Impondo x\cdot v_1=0 e x\cdot v_2=0 obtemos duas equações lineares para as componentes de x.
Com v_1=(2,-1,0,0):
x\cdot v_1 = 2x_1 - x_2 + 0\cdot x_3 + 0\cdot x_4 = 0
ou seja
2x_1 - x_2 = 0.
Com v_2=(0,1,0,-2):
x\cdot v_2 = 0\cdot x_1 + x_2 + 0\cdot x_3 -2x_4 = 0
ou seja
x_2 - 2x_4 = 0.

Passo 6

Resolvo o sistema:
\begin{cases} 2x_1 - x_2 = 0,\\[4pt] x_2 - 2x_4 = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem x_2 = 2x_1. Da segunda vem x_2 = 2x_4. Igualando,
2x_1 = 2x_4 \quad\Rightarrow\quad x_1 = x_4.
A componente x_3 não aparece nas equações, portanto é livre.
Assim a solução geral é
x = (x_1,2x_1,x_3,x_1) = x_1(1,2,0,1) + x_3(0,0,1,0).
Isso mostra explicitamente que H^{\perp} é o subespaço gerado por
u=(1,2,0,1)\quad\text{e}\quad w=(0,0,1,0).
Estes dois vetores são claramente linearmente independentes, então formam uma base de H^{\perp}.]

Passo 7

Agora uso essa forma geral para verificar as alternativas. Lembrete útil: qualquer vetor em H^{\perp} tem coordenadas da forma (t,2t,s,t). Também já vimos que \dim(H^{\perp})=2, então a resposta deve ser uma alternativa com 2 vetores que sejam ambos da forma (t,2t,s,t) e que sejam linearmente independentes.
Elimino imediatamente as alternativas com 1 vetor: (B), (C), (F), (H) não podem ser bases.

Passo 8

Verifico as alternativas com 2 vetores:
  • Alternativa (A): (4,-3,3,-3) e (1,2,4,1).
    • Para (4,-3,3,-3): comparar com (t,2t,s,t) 2t = -3 e t = -3 (da quarta componente), o que seria 2(-3)=-6\neq-3. Ou calcule o produto escalar com v_1: 2\cdot4 + (-1)(-3)=8+3=11\neq0. Logo (4,-3,3,-3)\notin H^{\perp}. Assim (A) está fora.
  • Alternativa (E): (3,6,-4,3) e (-2,4,2,4).
    • Para (-2,4,2,4): verificar as condições dá x_2=4 e 2x_1=2(-2)=-4, mas 4\neq-4. Logo (-2,4,2,4)\notin H^{\perp}. Assim (E) está fora.
  • Alternativa (G): (4,-3,3,-3) e (-2,4,2,4).
    • Já vimos que ambos os vetores individuais não satisfazem as equações, então (G) está fora.
  • Alternativa (D): (3,6,-4,3) e (1,2,4,1).
    • Verifico (3,6,-4,3): comparando com (t,2t,s,t) vemos t=3, 2t=6, s=-4, quarta componente t=3 — tudo consistente. Ou calcule o produto escalar com v_1 e v_2: v_1\cdot(3,6,-4,3)=2\cdot3+(-1)\cdot6=6-6=0,
v_2\cdot(3,6,-4,3)=1\cdot6-2\cdot3=6-6=0.
Assim \((3,6,-4,3)\in H^{\perp}\).
  • Verifico (1,2,4,1): já é da forma (t,2t,s,t) com t=1,s=4. Ou pelos produtos escalares: v_1\cdot(1,2,4,1)=2\cdot1+(-1)\cdot2=2-2=0,
v_2\cdot(1,2,4,1)=1\cdot2-2\cdot1=2-2=0.
Logo \((1,2,4,1)\in H^{\perp}\).
  • Resta checar se esses dois vetores são linearmente independentes. Considere a(1,2,4,1)+b(3,6,-4,3)=0. Das duas primeiras componentes obtemos a+3b=0,\qquad 2a+6b=0.Essas duas equações são equivalentes e implicam a=-3b. Usando a terceira componente: 4a-4b=0 \quad\Rightarrow\quad 4(-3b)-4b=0 \Rightarrow -12b-4b=-16b=0 \Rightarrow b=0,daí a=0. Logo só existe a combinação trivial, ou seja, são linearmente independentes. Como são dois vetores independentes em um subespaço de dimensão 2, formam uma base de H^{\perp}.

Passo 9

Concluímos que a única alternativa correta é a (D): os vetores (3,6,-4,3) e (1,2,4,1) pertencem a H^{\perp} e são linearmente independentes, portanto formam uma base de H^{\perp}.

Resposta

(D)

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