Q11: Considere o subespaço
definido por:
. Qual dos conjuntos abaixo é base de
(complemento ortogonal de
)?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
gerado por três vetores e pede: qual dos conjuntos indicados é uma base de
(complemento ortogonal de
)?
Dados:
Pergunta do enunciado:
- Qual das alternativas (A) a (H) é uma base de
?
Passo 2
Primeiro vamos ver se os vetores que geram
são linearmente independentes ou não (isso ajuda a saber a dimensão de
). Faço uma combinação simples para ver se
pode ser escrito em termos de
e
.
Calculo
:
Portanto
Passo 3
Como
é combinação linear de
e
, temos que
tem posto
. Logo
e
. Em
, portanto
. Conclusão prática: qualquer base de
deve ter exatamente 2 vetores (as alternativas com apenas 1 vetor não podem ser base).
Passo 4
O que é
? É o conjunto de todos os vetores
que são ortogonais a todos os vetores de
. Basta exigir ortogonalidade a uma base de
, por exemplo a
e
. A ortogonalidade usa o produto interno padrão:
Passo 5
Impondo
e
obtemos duas equações lineares para as componentes de
.
Com
:
ou seja
Com
:
ou seja
Passo 6
Resolvo o sistema:
Da primeira equação vem
. Da segunda vem
. Igualando,
A componente
não aparece nas equações, portanto é livre.
Assim a solução geral é
Isso mostra explicitamente que
é o subespaço gerado por
Estes dois vetores são claramente linearmente independentes, então formam uma base de
.]
Passo 7
Agora uso essa forma geral para verificar as alternativas. Lembrete útil: qualquer vetor em
tem coordenadas da forma
. Também já vimos que
, então a resposta deve ser uma alternativa com 2 vetores que sejam ambos da forma
e que sejam linearmente independentes.
Elimino imediatamente as alternativas com 1 vetor: (B), (C), (F), (H) não podem ser bases.
Passo 8
Verifico as alternativas com 2 vetores:
-
Alternativa (A):
e . - Para
: comparar com dá e (da quarta componente), o que seria . Ou calcule o produto escalar com : . Logo . Assim (A) está fora.
- Para
-
Alternativa (E):
e . - Para
: verificar as condições dá e , mas . Logo . Assim (E) está fora.
- Para
-
Alternativa (G):
e . - Já vimos que ambos os vetores individuais não satisfazem as equações, então (G) está fora.
-
Alternativa (D):
e . - Verifico
: comparando com vemos , , , quarta componente — tudo consistente. Ou calcule o produto escalar com e :
- Verifico
Assim \((3,6,-4,3)\in H^{\perp}\).
- Verifico
: já é da forma com . Ou pelos produtos escalares:
Logo \((1,2,4,1)\in H^{\perp}\).
- Resta checar se esses dois vetores são linearmente independentes. Considere
. Das duas primeiras componentes obtemos Essas duas equações são equivalentes e implicam . Usando a terceira componente: daí . Logo só existe a combinação trivial, ou seja, são linearmente independentes. Como são dois vetores independentes em um subespaço de dimensão , formam uma base de .
Passo 9
Concluímos que a única alternativa correta é a (D): os vetores
e
pertencem a
e são linearmente independentes, portanto formam uma base de
.
Resposta
(D)