A pergunta é: qual é a dimensão da imagem de T? (ou seja, qual é a dimensão do subespaço de \mathbb{R}^{3} formado por todos os vetores T(v)?)
As informações relevantes fornecidas:
A transformação é linear e dada explicitamente pelos coeficientes das componentes em função de (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}).
Não há outros dados; a resposta deve ser uma das alternativas: (A) 0, (B) 1, (C) 2, (D) 3, (E) 4.
Passo 2
Vamos escrever T como uma matriz A que representa a transformação em relação às bases canônicas de \mathbb{R}^{4} e \mathbb{R}^{3}. Cada componente de T dá uma linha da matriz com os coeficientes de x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}. Assim:
Explicando o que isto significa: para qualquer vetor (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T}\in\mathbb{R}^{4} tem-se T(x)=A\,(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T}. Cada coluna de A é a imagem do correspondente vetor da base canônica de \mathbb{R}^{4}.]
Passo 3
Conceito importante (explicação didática curta): a imagem de T é o espaço gerado (span) pelas colunas da matriz A. A dimensão da imagem é o posto (rank) de A, isto é, o número máximo de colunas linearmente independentes (ou equivalentemente o número máximo de linhas independentes). Portanto, para responder, basta calcular \operatorname{rank}(A).
Passo 4
Método escolhido: redução por linhas (eliminação de Gauss) para determinar quantas linhas (ou colunas) são linearmente independentes. Vou reduzir A passo a passo.
Agora observe as linhas R_2 e R_3. A terceira linha é exatamente duas vezes a segunda:
(0,-6,-4,-2)=2\cdot(0,-3,-2,-1).
Isso mostra que R_3 é linearmente dependente de R_2 (e de R_1 possivelmente), portanto não acrescenta nova dimensão ao espaço gerado pelas linhas.]
Passo 5
Da redução vemos que existem duas linhas não-nulas e independentes: a primeira linha (1,1,1,-2) e a segunda linha (0,-3,-2,-1). Não há terceira linha independente (porque R_3 é múltipla de R_2). Portanto o posto da matriz é
\operatorname{rank}(A)=2.
Como dito antes, a dimensão da imagem de T é exatamente \operatorname{rank}(A), logo a dimensão da imagem é 2.
Uma interpretação intuitiva: apesar de T receber vetores em \mathbb{R}^{4}, suas imagens caem num subespaço de dimensão apenas 2 dentro de \mathbb{R}^{3}; geometricamente, o conjunto de todos os vetores T(x) forma um plano (passando pela origem) em \mathbb{R}^{3}.
Passo 6
Resumo final e incentivo: fizemos a representação matricial, reduzimos por linhas e verificamos dependências lineares; deu posto 2. Dá pra fazer isso numa prova tranquilamente: escreva a matriz, elimine com cuidado e conte as linhas (ou colunas) independentes. Você já tem o procedimento decorado — vai dar certo!