Q4: Seja T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}-2 x_{4}\right., \left.x_{1}-2 x_{2}-x_{3}-3 x_{4}, \quad x_{1}-5 x_{2}-3 x_{3}-4 x_{4}\right).
A dimensão da imagem de T é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)=\bigl(x_{1}+x_{2}+x_{3}-2x_{4},\;x_{1}-2x_{2}-x_{3}-3x_{4},\;x_{1}-5x_{2}-3x_{3}-4x_{4}\bigr).
A pergunta é: qual é a dimensão da imagem de T? (ou seja, qual é a dimensão do subespaço de \mathbb{R}^{3} formado por todos os vetores T(v)?)
As informações relevantes fornecidas:
  • A transformação é linear e dada explicitamente pelos coeficientes das componentes em função de (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}).
  • Não há outros dados; a resposta deve ser uma das alternativas: (A) 0, (B) 1, (C) 2, (D) 3, (E) 4.

Passo 2

Vamos escrever T como uma matriz A que representa a transformação em relação às bases canônicas de \mathbb{R}^{4} e \mathbb{R}^{3}. Cada componente de T dá uma linha da matriz com os coeficientes de x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}. Assim:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -2\\[4pt] 1 & -2 & -1 & -3\\[4pt] 1 & -5 & -3 & -4 \end{pmatrix}.
Explicando o que isto significa: para qualquer vetor (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T}\in\mathbb{R}^{4} tem-se T(x)=A\,(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T}. Cada coluna de A é a imagem do correspondente vetor da base canônica de \mathbb{R}^{4}.]

Passo 3

Conceito importante (explicação didática curta): a imagem de T é o espaço gerado (span) pelas colunas da matriz A. A dimensão da imagem é o posto (rank) de A, isto é, o número máximo de colunas linearmente independentes (ou equivalentemente o número máximo de linhas independentes). Portanto, para responder, basta calcular \operatorname{rank}(A).

Passo 4

Método escolhido: redução por linhas (eliminação de Gauss) para determinar quantas linhas (ou colunas) são linearmente independentes. Vou reduzir A passo a passo.
Matriz inicial:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -2\\[4pt] 1 & -2 & -1 & -3\\[4pt] 1 & -5 & -3 & -4 \end{pmatrix}.
Subtraio a primeira linha da segunda e da terceira (operação: R_2\leftarrow R_2-R_1, R_3\leftarrow R_3-R_1):
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -2\\[4pt] 0 & -3 & -2 & -1\\[4pt] 0 & -6 & -4 & -2 \end{pmatrix}.
Agora observe as linhas R_2 e R_3. A terceira linha é exatamente duas vezes a segunda:
(0,-6,-4,-2)=2\cdot(0,-3,-2,-1).
Isso mostra que R_3 é linearmente dependente de R_2 (e de R_1 possivelmente), portanto não acrescenta nova dimensão ao espaço gerado pelas linhas.]

Passo 5

Da redução vemos que existem duas linhas não-nulas e independentes: a primeira linha (1,1,1,-2) e a segunda linha (0,-3,-2,-1). Não há terceira linha independente (porque R_3 é múltipla de R_2). Portanto o posto da matriz é
\operatorname{rank}(A)=2.
Como dito antes, a dimensão da imagem de T é exatamente \operatorname{rank}(A), logo a dimensão da imagem é 2.
Uma interpretação intuitiva: apesar de T receber vetores em \mathbb{R}^{4}, suas imagens caem num subespaço de dimensão apenas 2 dentro de \mathbb{R}^{3}; geometricamente, o conjunto de todos os vetores T(x) forma um plano (passando pela origem) em \mathbb{R}^{3}.

Passo 6

Resumo final e incentivo: fizemos a representação matricial, reduzimos por linhas e verificamos dependências lineares; deu posto 2. Dá pra fazer isso numa prova tranquilamente: escreva a matriz, elimine com cuidado e conte as linhas (ou colunas) independentes. Você já tem o procedimento decorado — vai dar certo!

Resposta

(C)

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