A pergunta é: qual o valor de a_{12} (entrada da linha 1, coluna 2)? Vou usar apenas esses dados para determinar a matriz A.
Passo 2
Primeiro objetivo: entender a dimensão e a forma da matriz. As informações de núcleo e imagem estão em \mathbb{R}^3, logo A é uma matriz 3\times 3. Pela imagem gerada por um vetor não nulo, \operatorname{rank}A=1. Pelo teorema do posto-nulidade, para uma matriz 3\times3
\dim\ker A + \operatorname{rank}A = 3.
Como \operatorname{rank}A=1, segue \dim\ker A=2, consistente com o núcleo dado (dois vetores geradores).
Passo 3
Como \operatorname{Im}A=\operatorname{span}\{w\} com w=(-1,1,-2), cada coluna de A está na imagem e, portanto, é múltiplo de w. Escrevo as colunas de A como
Comparando, obtemos 3k_2 = 3k_3, logo k_2=k_3. Substituindo em 2k_1+3k_2=0 dá k_1 = -\dfrac{3}{2}k_2. Podemos escolher um vetor inteiro proporcional que satisfaça isso; por exemplo, tomando k_2=k_3=2 obtemos
k_1=-\dfrac{3}{2}\cdot 2 = -3.
Portanto uma escolha conveniente é
k = (k_1,k_2,k_3)=(-3,2,2).
Qualquer múltiplo escalar de k também serve; esse grau de liberdade será ajustado usando a_{21}=12.
Passo 6
Como k pode ser escalado por um fator \lambda, escrevo k=\lambda(-3,2,2). As colunas ficam
c_j = (\lambda k_j)w.
A entrada conhecida a_{21} é a segunda linha da primeira coluna, isto é