Q5: Calcule a matriz A, sabendo que:
  • a_{21}=12,
  • Núcleo A=\operatorname{span}\{(-2,-3,0),(2,0,3)\} e
  • Imagem A=\operatorname{span}\{(-1,1,-2)\}.
A entrada a_{12} vale:
(A) 7
(B) 8
(C) 9
(D) 10
(E) 11
(F) 12
(G) 13
(H) 14

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • a_{21}=12 (entrada da linha 2, coluna 1 é 12);
  • \ker A=\operatorname{span}\{(-2,-3,0),(2,0,3)\};
  • \operatorname{Im}A=\operatorname{span}\{(-1,1,-2)\}.
A pergunta é: qual o valor de a_{12} (entrada da linha 1, coluna 2)? Vou usar apenas esses dados para determinar a matriz A.

Passo 2

Primeiro objetivo: entender a dimensão e a forma da matriz. As informações de núcleo e imagem estão em \mathbb{R}^3, logo A é uma matriz 3\times 3. Pela imagem gerada por um vetor não nulo, \operatorname{rank}A=1. Pelo teorema do posto-nulidade, para uma matriz 3\times3
\dim\ker A + \operatorname{rank}A = 3.
Como \operatorname{rank}A=1, segue \dim\ker A=2, consistente com o núcleo dado (dois vetores geradores).

Passo 3

Como \operatorname{Im}A=\operatorname{span}\{w\} com w=(-1,1,-2), cada coluna de A está na imagem e, portanto, é múltiplo de w. Escrevo as colunas de A como
c_1=k_1 w,\qquad c_2=k_2 w,\qquad c_3=k_3 w,
onde k_1,k_2,k_3\in\mathbb{R}. Assim
A=[\,c_1\\ c_2\\ c_3\,]=[\,k_1 w\\ k_2 w\\ k_3 w\,].

Passo 4

Para x=(x_1,x_2,x_3)^\top vale
A x = x_1 c_1 + x_2 c_2 + x_3 c_3 = (x_1 k_1 + x_2 k_2 + x_3 k_3)\,w.
Como w\neq 0, a condição Ax=0 é equivalente à equação escalar
x_1 k_1 + x_2 k_2 + x_3 k_3 = 0.
Logo \ker A é exatamente o subespaço ortogonal ao vetor k=(k_1,k_2,k_3). Portanto k deve ser ortogonal aos geradores do núcleo dados.

Passo 5

Imponho ortogonalidade de k com os vetores do núcleo. Sejam v_1=(-2,-3,0) e v_2=(2,0,3). Temos
k\cdot v_1 = -2k_1 -3k_2 + 0\cdot k_3 = 0,
k\cdot v_2 = 2k_1 + 0\cdot k_2 + 3k_3 = 0.
Escrevendo:
-2k_1 -3k_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2k_1 + 3k_2 = 0,
2k_1 + 3k_3 = 0.
Comparando, obtemos 3k_2 = 3k_3, logo k_2=k_3. Substituindo em 2k_1+3k_2=0 k_1 = -\dfrac{3}{2}k_2. Podemos escolher um vetor inteiro proporcional que satisfaça isso; por exemplo, tomando k_2=k_3=2 obtemos
k_1=-\dfrac{3}{2}\cdot 2 = -3.
Portanto uma escolha conveniente é
k = (k_1,k_2,k_3)=(-3,2,2).
Qualquer múltiplo escalar de k também serve; esse grau de liberdade será ajustado usando a_{21}=12.

Passo 6

Como k pode ser escalado por um fator \lambda, escrevo k=\lambda(-3,2,2). As colunas ficam
c_j = (\lambda k_j)w.
A entrada conhecida a_{21} é a segunda linha da primeira coluna, isto é
a_{21} = \text{(segunda componente de }c_1) = \lambda k_1 \cdot w_2.
Aqui k_1=-3 e w_2=1, logo
a_{21} = \lambda\cdot(-3)\cdot 1 = -3\lambda.
Pelo enunciado a_{21}=12, então
-3\lambda = 12 \quad\Rightarrow\quad \lambda = -4.

Passo 7

Com \lambda=-4 obtemos o vetor \lambda k = (-4)(-3,2,2) = (12,-8,-8). Assim as colunas de A são:
c_1 = 12\,w,\qquad c_2 = -8\,w,\qquad c_3 = -8\,w.
Calculando w=(-1,1,-2):
c_1 = 12(-1,1,-2)=(-12,12,-24),
c_2 = -8(-1,1,-2)=(8,-8,16),
c_3 = -8(-1,1,-2)=(8,-8,16).
Portanto a matriz A (escrita por linhas) é
A= \begin{pmatrix} -12 & 8 & 8\\[4pt] 12 & -8 & -8\\[4pt] -24 & 16 & 16 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Agora leio a entrada pedida: a_{12} é a entrada da linha 1, coluna 2. Da matriz acima,
a_{12}=8.

Resposta

(B) 8

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