Q4: Seja T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}+2 x_{2}-x_{3}+2 x_{4}\right., \left.-x_{1}-3 x_{2}-x_{3}-4 x_{4}, \quad-2 x_{1}-3 x_{2}+3 x_{3}-x_{4}\right).
A dimensão da imagem de T é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3,\qquad T(x_1,x_2,x_3,x_4)=\bigl(x_1+2x_2-x_3+2x_4,\; -x_1-3x_2-x_3-4x_4,\; -2x_1-3x_2+3x_3-x_4\bigr).
O que é pedido: determinar a dimensão da imagem de T. As opções são (A) 0, (B) 1, (C) 2, (D) 3, (E) 4.

Passo 2

Plano de ataque (explicação didática): para uma transformação linear dada por coordenadas como acima, é natural representá‑la por uma matriz A (na base canônica). A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A e a sua dimensão é o posto (rank) dessa matriz. O posto de uma matriz é o número máximo de colunas linearmente independentes, e também é igual ao número de pivôs obtidos ao reduzir a matriz a uma forma escalonada por operações elementares de linha. Vou construir A e calcular seu posto por eliminação.

Passo 3

Matriz associada (pegando os coeficientes das componentes de saída em relação a (x_1,x_2,x_3,x_4)):
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] -1 & -3 & -1 & -4\\[4pt] -2 & -3 & 3 & -1 \end{pmatrix}.
Cada linha corresponde a uma das três componentes de T(\cdot). A dimensão da imagem de T é \operatorname{rank}(A).]

Passo 4

Vamos fazer eliminação por linhas para encontrar o posto. Primeiro, usar o elemento a_{11}=1 como pivô para zerar abaixo:
  • R_2 \leftarrow R_2 + R_1
  • R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1
Calculemos:
R_2 + R_1 = (-1+1,\; -3+2,\; -1+(-1),\; -4+2) = (0,\,-1,\,-2,\,-2),
R_3 + 2R_1 = (-2+2,\; -3+4,\; 3+2(-1),\; -1+4) = (0,\;1,\;1,\;3).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] 0 & -1 & -2 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora usar o pivô na segunda linha (coluna 2) para eliminar o elemento na terceira linha, coluna 2. Faço R_3 \leftarrow R_3 + R_2:
R_3 + R_2 = (0+0,\; 1+(-1),\; 1+(-2),\; 3+(-2)) = (0,\;0,\;-1,\;1).
A matriz fica em forma escalonada:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] 0 & -1 & -2 & -2\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Observação didática: um pivô é um elemento não nulo que inicia uma linha não nula na forma escalonada; aqui há pivôs nas colunas 1, 2 e 3, cada um em uma linha distinta.]

Passo 6

Contagem de pivôs: existem três pivôs (nas colunas 1,2,3). Logo \operatorname{rank}(A)=3. Como a dimensão da imagem de T é o posto da matriz associada, concluímos que a dimensão da imagem é 3.

Passo 7

Portanto, a resposta correta é (D) 3.

Resposta

(D) 3

Exercícios relacionados