O que é pedido: determinar a dimensão da imagem de T. As opções são (A) 0, (B) 1, (C) 2, (D) 3, (E) 4.
Passo 2
Plano de ataque (explicação didática): para uma transformação linear dada por coordenadas como acima, é natural representá‑la por uma matriz A (na base canônica). A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A e a sua dimensão é o posto (rank) dessa matriz. O posto de uma matriz é o número máximo de colunas linearmente independentes, e também é igual ao número de pivôs obtidos ao reduzir a matriz a uma forma escalonada por operações elementares de linha. Vou construir A e calcular seu posto por eliminação.
Passo 3
Matriz associada (pegando os coeficientes das componentes de saída em relação a (x_1,x_2,x_3,x_4)):
Observação didática: um pivô é um elemento não nulo que inicia uma linha não nula na forma escalonada; aqui há pivôs nas colunas 1, 2 e 3, cada um em uma linha distinta.]
Passo 6
Contagem de pivôs: existem três pivôs (nas colunas 1,2,3). Logo \operatorname{rank}(A)=3. Como a dimensão da imagem de T é o posto da matriz associada, concluímos que a dimensão da imagem é 3.