Q10: Seja \theta o ângulo entre os vetores (-5,-1,3,-4) e (5,4,-3,-2) em \mathbb{R}^{4}. Assinale a alternativa correta:
(A) 0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 6
(B) \pi / 6<\theta \leqslant \pi / 4
(C) \pi / 4<\theta \leqslant \pi / 3
(D) \pi / 3<\theta \leqslant \pi / 2
(E) \pi / 2<\theta \leqslant 2 \pi / 3
(F) 2 \pi / 3<\theta \leqslant 3 \pi / 4
(G) 3 \pi / 4<\theta \leqslant 5 \pi / 6
(H) 5 \pi / 6<\theta \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^4 e pede o intervalo em que está o ângulo \theta entre eles. Dados fornecidos:
  • Vetor \mathbf{u}=(-5,-1,3,-4).
  • Vetor \mathbf{v}=(5,4,-3,-2).
Pergunta: determinar em qual das alternativas (A)–(H) o ângulo \theta entre \mathbf{u} e \mathbf{v} se encontra.

Passo 2

Lembrete (fórmula útil): o produto escalar e a relação com o ângulo. Para vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} vale
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\cos\theta,
onde \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} é o produto escalar e \|\mathbf{u}\| é a norma (comprimento) de \mathbf{u}. Vou primeiro calcular o produto escalar explicitamente. O produto escalar em coordenadas é a soma dos produtos coordenada a coordenada, isto é:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=(-5)\cdot5+(-1)\cdot4+3\cdot(-3)+(-4)\cdot(-2).

Passo 3

Faço as multiplicações e a soma do produto escalar passo a passo:
(-5)\cdot5=-25,\quad (-1)\cdot4=-4,\quad 3\cdot(-3)=-9,\quad (-4)\cdot(-2)=8.
Somando:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=-25-4-9+8=-30.

Passo 4

Agora calculo as normas. A norma de um vetor \mathbf{w}=(w_1,w_2,\dots) é \|\mathbf{w}\|=\sqrt{w_1^2+w_2^2+\cdots}. Para \mathbf{u}:
\|\mathbf{u}\|^2 = (-5)^2+(-1)^2+3^2+(-4)^2 = 25+1+9+16=51,
logo \|\mathbf{u}\|=\sqrt{51}.
Para \mathbf{v}:
\|\mathbf{v}\|^2 = 5^2+4^2+(-3)^2+(-2)^2 = 25+16+9+4=54,
logo \|\mathbf{v}\|=\sqrt{54}=3\sqrt{6}.

Passo 5

Usando \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\cos\theta, obtemos
\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}=\frac{-30}{\sqrt{51}\,\sqrt{54}}=\frac{-30}{\sqrt{2754}}.
Posso simplificar a raiz: 2754=9\cdot34, logo \sqrt{2754}=9\sqrt{34}. Assim
\cos\theta=\frac{-30}{9\sqrt{34}}=\frac{-10}{3\sqrt{34}}.

Passo 6

Faço uma aproximação decimal para comparar com cossenos dos limites dos intervalos. Primeiro \sqrt{34}\approx5{,}830951895. Então
3\sqrt{34}\approx17{,}492855685, \qquad \cos\theta\approx\frac{-10}{17{,}492855685}\approx-0{,}5714.

Passo 7

Agora comparo \cos\theta com os cossenos dos limites relevantes das opções para achar o intervalo de \theta. A função \cos x é estritamente decrescente em [0,\pi], portanto comparar cossenos equivale a comparar ângulos. Valores conhecidos:
\cos\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=\cos(120^\circ)=-\tfrac{1}{2}=-0{,}5,
\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{4}\right)=\cos(135^\circ)=-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\approx-0{,}7071.
Observamos que
-0{,}7071\approx\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{4}\right)<-0{,}5714\approx\cos\theta<\cos\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=-0{,}5.
Como \cos é decrescente, isso significa
\tfrac{2\pi}{3}<\theta<\tfrac{3\pi}{4}.
Assim \theta pertence ao intervalo aberto \left(\tfrac{2\pi}{3},\tfrac{3\pi}{4}\right). Pelas alternativas dadas, a que corresponde é a que tem 2\pi/3<\theta\le 3\pi/4 (observando que a diferença de incluir 3π/4 na desigualdade não muda pois nosso \theta é estritamente menor que 3\pi/4).

Passo 8

Para confirmar numericamente podemos também calcular \theta aproximadamente por \theta=\operatorname{arccos}(\cos\theta):
\theta\approx\operatorname{arccos}(-0{,}5714)\approx125^\circ\approx \frac{125\pi}{180}\approx2{,}1817\\ \text{rad},
e de fato 120^\circ(=2\pi/3)\approx120^\circ<125^\circ<135^\circ(=3\pi/4).

Resposta

(F)

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