Q10: Seja
o ângulo entre os vetores
e
em
. Assinale a alternativa correta:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado dá dois vetores em
e pede o intervalo em que está o ângulo
entre eles. Dados fornecidos:
- Vetor
. - Vetor
.
Pergunta: determinar em qual das alternativas (A)–(H) o ângulo
entre
e
se encontra.
Passo 2
Lembrete (fórmula útil): o produto escalar e a relação com o ângulo. Para vetores
e
vale
onde
é o produto escalar e
é a norma (comprimento) de
. Vou primeiro calcular o produto escalar explicitamente. O produto escalar em coordenadas é a soma dos produtos coordenada a coordenada, isto é:
Passo 3
Faço as multiplicações e a soma do produto escalar passo a passo:
Somando:
Passo 4
Agora calculo as normas. A norma de um vetor
é
. Para
:
logo
.
Para :
Para
logo
.
Passo 5
Usando
, obtemos
Posso simplificar a raiz:
, logo
. Assim
Passo 6
Faço uma aproximação decimal para comparar com cossenos dos limites dos intervalos. Primeiro
. Então
Passo 7
Agora comparo
com os cossenos dos limites relevantes das opções para achar o intervalo de
. A função
é estritamente decrescente em
, portanto comparar cossenos equivale a comparar ângulos. Valores conhecidos:
Observamos que
Como
é decrescente, isso significa
Assim
pertence ao intervalo aberto
. Pelas alternativas dadas, a que corresponde é a que tem
(observando que a diferença de incluir 3π/4 na desigualdade não muda pois nosso
é estritamente menor que
).
Passo 8
Para confirmar numericamente podemos também calcular
aproximadamente por
:
e de fato
.
Resposta
(F)