O que é pedido: determinar a dimensão da imagem de T (ou seja, \dim(\operatorname{Im} T)).
Informações relevantes fornecidas:
A transformação é linear e mapeia vetores (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) em vetores de \mathbb{R}^3.
Os coeficientes das componentes de T formam uma matriz 3\times4 (cada componente é uma combinação linear das variáveis x_i).
Passo 2
Ideia do método (explicação didática curta): a dimensão da imagem de T é o posto (rank) da matriz associada a T. Vou escrever a matriz A cujas linhas correspondem às componentes de T (os coeficientes diante de x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}):
Explicação do porquê: para uma transformação linear dada por combinações lineares das coordenadas, a imagem é o espaço gerado pelas colunas de A (ou equivalentemente pelas linhas, pois o posto das linhas é igual ao posto das colunas). O posto de A é o número de linhas/colunas linearmente independentes e é o valor que queremos.]
Passo 3
Vamos calcular o posto de A via eliminação de Gauss (operações elementares em linhas). Começo com A:
Agora a matriz está em forma escalonada reduzida (pivôs claros nas colunas 1, 2 e 3). Há três linhas independentes (três pivôs), logo o posto de A é 3.]
Passo 7
Interpretação final: o posto de A é o número de vetores na base da imagem de T, portanto
\dim(\operatorname{Im} T)=3.
Como a imagem está em \mathbb{R}^3, esse resultado significa que T é sobrejetora (imagem é todo \mathbb{R}^3) — detalhe útil para a prova, mas o essencial é que o posto encontrou três vetores linearmente independentes.