Q4: Seja T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}-x_{2}-2 x_{3}+x_{4}\right., \left.x_{1}-3 x_{2}-4 x_{3}-x_{4}, \quad-x_{1}+5 x_{2}+5 x_{3}+4 x_{4}\right).
A dimensão da imagem de T é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=\bigl(x_{1}-x_{2}-2x_{3}+x_{4},\;x_{1}-3x_{2}-4x_{3}-x_{4},\;-x_{1}+5x_{2}+5x_{3}+4x_{4}\bigr).
O que é pedido: determinar a dimensão da imagem de T (ou seja, \dim(\operatorname{Im} T)).
Informações relevantes fornecidas:
  • A transformação é linear e mapeia vetores (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) em vetores de \mathbb{R}^3.
  • Os coeficientes das componentes de T formam uma matriz 3\times4 (cada componente é uma combinação linear das variáveis x_i).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática curta): a dimensão da imagem de T é o posto (rank) da matriz associada a T. Vou escrever a matriz A cujas linhas correspondem às componentes de T (os coeficientes diante de x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}):
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & 1\\[4pt] 1 & -3 & -4 & -1\\[4pt] -1 & 5 & 5 & 4 \end{pmatrix}.
Explicação do porquê: para uma transformação linear dada por combinações lineares das coordenadas, a imagem é o espaço gerado pelas colunas de A (ou equivalentemente pelas linhas, pois o posto das linhas é igual ao posto das colunas). O posto de A é o número de linhas/colunas linearmente independentes e é o valor que queremos.]

Passo 3

Vamos calcular o posto de A via eliminação de Gauss (operações elementares em linhas). Começo com A:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & 1\\[4pt] 1 & -3 & -4 & -1\\[4pt] -1 & 5 & 5 & 4 \end{pmatrix}.
Subtraio a primeira linha da segunda e somo a primeira linha à terceira (operações permitidas: R_2\leftarrow R_2-R_1, R_3\leftarrow R_3+R_1):
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & 1\\[4pt] 0 & -2 & -2 & -2\\[4pt] 0 & 4 & 3 & 5 \end{pmatrix}.
Expliquei: essas operações não mudam o posto da matriz, só facilitam encontrar pivôs.]

Passo 4

Simplifico a segunda linha dividindo por -2 (nova operação R_2\leftarrow -\tfrac{1}{2}R_2):
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 4 & 3 & 5 \end{pmatrix}.
Agora elimino a entrada 4 na terceira linha usando a segunda linha: R_3\leftarrow R_3-4R_2:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Observe que já temos três linhas não nulas (potenciais pivôs nas colunas 1, 2 e 3).]

Passo 5

Continuo deixando a forma triangular mais clara: multiplico a terceira linha por -1 para ter o pivô positivo: R_3\leftarrow -R_3:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Agora elimino as entradas acima do pivô da terceira coluna:
  • R_1\leftarrow R_1+2R_3 elimina o -2 em R_1,
  • R_2\leftarrow R_2-R_3 elimina o 1 em R_2.
Aplicando essas operações:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Por fim, elimino o -1 na posição (1,2) somando a segunda linha à primeira: R_1\leftarrow R_1+R_2:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Agora a matriz está em forma escalonada reduzida (pivôs claros nas colunas 1, 2 e 3). Há três linhas independentes (três pivôs), logo o posto de A é 3.]

Passo 7

Interpretação final: o posto de A é o número de vetores na base da imagem de T, portanto
\dim(\operatorname{Im} T)=3.
Como a imagem está em \mathbb{R}^3, esse resultado significa que T é sobrejetora (imagem é todo \mathbb{R}^3) — detalhe útil para a prova, mas o essencial é que o posto encontrou três vetores linearmente independentes.

Resposta

(D) 3

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