Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (-x+2 y-z, 2 x-3 y+z, x-y-z).
Calcule B, a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{13} vale:
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
(F) 3
(G) 4
(H) 5

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se a matriz B que representa a inversa da transformação linear T.
  • A transformação é dada por
T(x,y,z)=(-x+2y-z,\;2x-3y+z,\;x-y-z).
  • A pergunta específica: qual é o valor da entrada b_{13} (primeira linha, terceira coluna) da matriz B. As alternativas são: (A) -2, (B) -1, (C) 0, (D) 1, (E) 2, (F) 3, (G) 4, (H) 5.

Passo 2

Formar a matriz A que representa T na base canônica. As colunas de A são T(e_1),T(e_2),T(e_3) onde e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1). Assim:
T(1,0,0)=(-1,2,1),\quad T(0,1,0)=(2,-3,-1),\quad T(0,0,1)=(-1,1,-1).
Logo a matriz A é
A=\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1\\[4pt] 2 & -3 & 1\\[4pt] 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Escolha do método para achar A^{-1}: vou usar o método clássico via determinante e matriz adjunta (matriz dos cofatores transposta). Justificativa simples: o determinante sai pequeno (inteiro) e os cofatores também são inteiros, então o cálculo fica limpo e é fácil extrair a entrada pedida. Se o determinante fosse zero, diríamos que T não é invertível.

Passo 4

Calcular o determinante \det(A) desenvolvendo pela primeira linha. Os menores correspondentes são:
M_{11}=\det\begin{pmatrix}-3 & 1\\\\ -1 & -1\end{pmatrix}=(-3)(-1)-1(-1)=3+1=4,
M_{12}=\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\\ 1 & -1\end{pmatrix}=2(-1)-1\cdot1=-2-1=-3,
M_{13}=\det\begin{pmatrix}2 & -3\\\\ 1 & -1\end{pmatrix}=2(-1)-(-3)\cdot1=-2+3=1.
Aplicando os sinais de cofator ( +,-,+) e a primeira linha de A obtemos
\det(A)=(-1)\cdot 4 + 2\cdot(-3)\cdot(-1) + (-1)\cdot 1 = -4 + 6 -1 = 1.
Portanto \det(A)=1. Como o determinante é diferente de zero, A é invertível; além disso, A^{-1}=\operatorname{adj}(A) (já que \det(A)=1).

Passo 5

Calcular a matriz dos cofatores C=(C_{ij}), onde C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}. Já tínhamos M_{11}=4, M_{12}=-3, M_{13}=1, então
C_{11}=+4,\quad C_{12}= -M_{12}= -(-3)=3,\quad C_{13}=+1.
Agora os cofatores da segunda linha:
M_{21}=\det\begin{pmatrix}2 & -1\\\\ -1 & -1\end{pmatrix}=2(-1)-(-1)(-1)=-2-1=-3\quad\Rightarrow\quad C_{21}=-M_{21}=3,
M_{22}=\det\begin{pmatrix}-1 & -1\\\\ 1 & -1\end{pmatrix}=(-1)(-1)-(-1)\cdot1=1+1=2\quad\Rightarrow\quad C_{22}=+2,
M_{23}=\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\\\ 1 & -1\end{pmatrix}=(-1)(-1)-2\cdot1=1-2=-1\quad\Rightarrow\quad C_{23}=-M_{23}=1.
Cofatores da terceira linha:
M_{31}=\det\begin{pmatrix}2 & -1\\\\ -3 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-(-1)(-3)=2-3=-1\quad\Rightarrow\quad C_{31}=+(-1)=-1,
M_{32}=\det\begin{pmatrix}-1 & -1\\\\ 2 & 1\end{pmatrix}=(-1)\cdot1-(-1)\cdot2=-1+2=1\quad\Rightarrow\quad C_{32}=-1,
M_{33}=\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\\\ 2 & -3\end{pmatrix}=(-1)(-3)-2\cdot2=3-4=-1\quad\Rightarrow\quad C_{33}= -1.
Assim a matriz dos cofatores é
C=\begin{pmatrix} 4 & 3 & 1\\[4pt] 3 & 2 & 1\\[4pt] -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

A matriz adjunta (adjugate) é a transposta da matriz dos cofatores:
\operatorname{adj}(A)=C^{T}= \begin{pmatrix} 4 & 3 & -1\\[4pt] 3 & 2 & -1\\[4pt] 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Como \det(A)=1, a inversa é
B=A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)=\operatorname{adj}(A).
Portanto
B=\begin{pmatrix} 4 & 3 & -1\\[4pt] 3 & 2 & -1\\[4pt] 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Extrair a entrada pedida: b_{13} é a entrada da primeira linha e terceira coluna de B. Da matriz acima vemos
b_{13}=-1.
(Como checagem rápida, pode-se verificar que A\cdot B=I_3, o que confirma que B é de fato a inversa.)

Resposta

(B) -1

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