Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (-x+2 y-z, 2 x-3 y+z, x-y-z).
Calcule B, a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{13} vale:
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
(F) 3
(G) 4
(H) 5
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
Pede-se a matriz B que representa a inversa da transformação linear T.
A transformação é dada por
T(x,y,z)=(-x+2y-z,\;2x-3y+z,\;x-y-z).
A pergunta específica: qual é o valor da entrada b_{13} (primeira linha, terceira coluna) da matriz B. As alternativas são: (A) -2, (B) -1, (C) 0, (D) 1, (E) 2, (F) 3, (G) 4, (H) 5.
Passo 2
Formar a matriz A que representa T na base canônica. As colunas de A são T(e_1),T(e_2),T(e_3) onde e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1). Assim:
Escolha do método para achar A^{-1}: vou usar o método clássico via determinante e matriz adjunta (matriz dos cofatores transposta). Justificativa simples: o determinante sai pequeno (inteiro) e os cofatores também são inteiros, então o cálculo fica limpo e é fácil extrair a entrada pedida. Se o determinante fosse zero, diríamos que T não é invertível.
Passo 4
Calcular o determinante \det(A) desenvolvendo pela primeira linha. Os menores correspondentes são: