Calcule as matrizes de projeção a a^T / a^T a nas retas que passam por a1=(-1,2,2) e a2=(2,2,-1). Multiplique essas matrizes de projeção e explique por que seu produto P1 P2 é o que é.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as matrizes de projeção ortogonal
Pi = ai,ai^Tai^Tai
nas retas geradas por a1 =(-1,2,2) e a2=(2,2,-1), e depois multiplicar P1P2. Vamos usar a fórmula da projeção em R^3 baseado no produto externo e interno.

Passo 2

Calcular P1. Primeiro o denominador:
a1^Ta1 = (-1)^2 + 2^2 + 2^2 = 1 + 4 + 4 = 9
Em seguida o produto externo a1a1^T:
a1a1^T = -122 -1 & 2 & 2 = 1 & -2 & -2 -2 & 4 & 4 -2 & 4 & 4
Logo,
P1 = 19 1 & -2 & -2 -2 & 4 & 4 -2 & 4 & 4

Passo 3

Calcular P2. Primeiro o denominador:
a2^Ta2 = 2^2 + 2^2 + (-1)^2 = 4 + 4 + 1 = 9
O produto externo é
a2a2^T = 22-1 2 & 2 & -1 = 4 & 4 & -2 4 & 4 & -2 -2 &-2 & 1
Portanto,
P2 = 19 4 & 4 & -2 4 & 4 & -2 -2 &-2 & 1

Passo 4

Multiplicar P1P2. Usando a forma externa, vemos
P1P2 = a1a1^T9,a2a2^T9 = 181,a1l(a1^Ta2r)a2^T
Mas
a1^Ta2 = (-1)cdot2 + 2cdot2 + 2cdot(-1) = -2 + 4 - 2 = 0
Logo todo o produto cai a zero, ou seja,
P1P2 = 03times3

Resposta

P1 = dfrac19 1 & -2 & -2 -2 & 4 & 4 -2 & 4 & 4 ,
P2 = dfrac19 4 & 4 & -2 4 & 4 & -2 -2 &-2 & 1 ,
e
P1P2 = 0&0&00&0&00&0&0,
pois a1 e a2 são ortogonais, logo a projeção sucessiva anula tudo.

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