(Importante) Se P^2=P mostre que (I-P)^2=I-P. Quando P projeta no espaço coluna de A, I-P projeta no

Passo 1

O enunciado parte do fato de que uma matriz P satisfaz
P^2 = P,
ou seja, P é idempotente. Além disso, sabemos que se P é a projeção ortogonal no espaço coluna de A, queremos entender em que espaço I - P projeta. Vamos usar propriedades algébricas de matrizes e noções de espaços vetoriais e seus complementos ortogonais.

Passo 2

Vamos calcular (I-P)^2. Usando a distributividade, temos
(I-P)^2 = (I-P)(I-P) = Icdot I - Icdot P - Pcdot I + Pcdot P = I - P - P + P^2
Como P^2 = P, segue
(I-P)^2 = I - 2P + P = I - P
Logo mostramos que (I-P)^2 = I-P, ou seja, I-P também é idempotente.

Passo 3

Se P projeta ortogonalmente no espaço coluna de A, que chamamos Col(A), então o operador I-P projeta ortogonalmente no complemento ortogonal de Col(A). Na álgebra linear sabemos que
(Col(A))^perp = ,x mid A^Tx = 0 = ker(A^T)
Portanto I-P projeta no espaço nulo de A^T.

Resposta

Quando P projeta no espaço coluna de A, I-P projeta no espaço nulo de A^T.

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