(Importante) Se
mostre que
. Quando
projeta no espaço coluna de
projeta no
Passo 1
O enunciado parte do fato de que uma matriz
satisfaz
ou seja,
é idempotente. Além disso, sabemos que se
é a projeção ortogonal no espaço coluna de
, queremos entender em que espaço
projeta. Vamos usar propriedades algébricas de matrizes e noções de espaços vetoriais e seus complementos ortogonais.
Passo 2
Vamos calcular
. Usando a distributividade, temos
Como
, segue
Logo mostramos que
, ou seja,
também é idempotente.
Passo 3
Se
projeta ortogonalmente no espaço coluna de
, que chamamos
, então o operador
projeta ortogonalmente no complemento ortogonal de
. Na álgebra linear sabemos que
Portanto
projeta no espaço nulo de
.
Resposta
Quando
projeta no espaço coluna de
,
projeta no espaço nulo de
.