Suponha que b seja igual a 2 vezes a primeira coluna de A. Qual é a projeção de b no espaço coluna de A? Calcule p e P quando b=(0,2,4) e as colunas de A são (0,1,2) e (1,2,0).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz A com colunas
a1=(0,1,2) e a2=(1,2,0)
e o vetor b=(0,2,4). Como b=2, a1, temos que b já pertence ao espaço coluna de A. Vamos encontrar a projeção ortogonal de b em Col (A).

Passo 2

A projeção ortogonal no espaço coluna de A é dada por
P ;=; A,(A^T A)^-1A^T
e o vetor projetado é
p ;=; P, b

Passo 3

Calculemos primeiro
A^T A = a1 !cdot! a1 & a1 !cdot! a2[6pt] a2 !cdot! a1 & a2 !cdot! a2 = 5 & 2[3pt]2 & 5
O determinante é 5cdot 5 - 2cdot 2 = 21, então
(A^T A)^-1 = 121 5 & -2[3pt]-2 & 5 ]

Passo 4

Substituindo em P e realizando as multiplicações, chega-se a
P = 121 5 & 8 & -4[3pt] 8 & 17 & 2[3pt] -4 & 2 & 20 ]

Passo 5

Finalmente, projetamos b:
p = P,b = 121 5 & 8 & -4[3pt] 8 & 17 & 2[3pt] -4 & 2 & 20 024 = 121 04284 = 024 ]

Resposta

p = (0,2,4) P = dfrac121 5 & 8 & -4 8 & 17 & 2 -4 & 2 & 20

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