Calcule o máximo divisor comum entre:
18,30 e 54 .
18,30 e 54 .
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o máximo divisor comum (MDC) entre os três números
,
e
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Os números são
.
A pergunta é: qual é o maior inteiro positivo que divide simultaneamentee ?
Passo 2
O que é o MDC? Vou explicar de forma direta e tranquila: o máximo divisor comum de alguns inteiros é o maior número inteiro positivo que divide todos eles sem deixar resto. Notação:
ou
.
Método que vou usar (e por quê): o método escolhido é a fatoração em primos, porque é bem didático, fácil de aplicar para esses números e deixa claro por que o resultado é o maior divisor comum. É um método elementar que dá uma regra simples: para cada primo que aparece nas fatorações, o expoente usado no MDC é o menor expoente com que esse primo aparece em todos os números. Vou mostrar passo a passo.
Passo 3
Fazer a fatoração em primos de cada número, explicando cada divisão.
Para
:
portanto
. Agora fatorando
:
logo
. Portanto
Para
:
então
. Agora fatorando
:
logo
. Portanto
Para
:
então
. Agora fatorando
:
logo
. Portanto
Resumo das fatorações:
Passo 4
Como montar o MDC a partir das fatorações: para cada primo que aparece em todos os números, tomo o menor expoente desse primo nas três fatorações.
- O primo
aparece com expoente em todos: menores expoente é . - O primo
aparece com expoentes ; o menor entre esses é . - O primo
não aparece em todos os números (aparece só em ), então não entra no MDC.
Portanto o MDC é
Passo 5
Verificação rápida usando o algoritmo de Euclides (opcional, mas bom para confirmar): primeiro calculo
e depois
.
Aplicando Euclides em
e
:
Quando o resto chega a
, o último resto não-nulo é o MDC, aqui
. Então
.
Agora
:
logo
. Confirma que o resultado anterior está correto.
Resposta
6