Calcule o máximo divisor comum entre:
18,30 e 54 .

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o máximo divisor comum (MDC) entre os três números 18, 30 e 54.
Informações dadas:
  • Os números são \,18,\;30\;\text{e}\;54\,.
    A pergunta é: qual é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente \,18,\;30 e \,54?

Passo 2

O que é o MDC? Vou explicar de forma direta e tranquila: o máximo divisor comum de alguns inteiros é o maior número inteiro positivo que divide todos eles sem deixar resto. Notação: \gcd(18,30,54) ou \operatorname{MDC}(18,30,54).
Método que vou usar (e por quê): o método escolhido é a fatoração em primos, porque é bem didático, fácil de aplicar para esses números e deixa claro por que o resultado é o maior divisor comum. É um método elementar que dá uma regra simples: para cada primo que aparece nas fatorações, o expoente usado no MDC é o menor expoente com que esse primo aparece em todos os números. Vou mostrar passo a passo.

Passo 3

Fazer a fatoração em primos de cada número, explicando cada divisão.
Para \,18:
18 \div 2 = 9,
portanto 18 = 2 \times 9. Agora fatorando 9:
9 \div 3 = 3,\qquad 3 \div 3 = 1,
logo 9 = 3^2. Portanto
18 = 2 \times 3^2.
Para \,30:
30 \div 2 = 15,
então 30 = 2 \times 15. Agora fatorando 15:
15 \div 3 = 5,\qquad 5 \div 5 = 1,
logo 15 = 3 \times 5. Portanto
30 = 2 \times 3 \times 5.
Para \,54:
54 \div 2 = 27,
então 54 = 2 \times 27. Agora fatorando 27:
27 \div 3 = 9,\qquad 9 \div 3 = 3,\qquad 3 \div 3 = 1,
logo 27 = 3^3. Portanto
54 = 2 \times 3^3.
Resumo das fatorações:
18 = 2^1 \times 3^2, \qquad 30 = 2^1 \times 3^1 \times 5^1, \qquad 54 = 2^1 \times 3^3.

Passo 4

Como montar o MDC a partir das fatorações: para cada primo que aparece em todos os números, tomo o menor expoente desse primo nas três fatorações.
  • O primo 2 aparece com expoente 1 em todos: menores expoente é 1.
  • O primo 3 aparece com expoentes 2,1,3; o menor entre esses é 1.
  • O primo 5 não aparece em todos os números (aparece só em 30), então não entra no MDC.
Portanto o MDC é
\gcd(18,30,54) = 2^{1}\times 3^{1} = 2\times 3 = 6.

Passo 5

Verificação rápida usando o algoritmo de Euclides (opcional, mas bom para confirmar): primeiro calculo \gcd(18,30) e depois \gcd(\text{resultado},54).
Aplicando Euclides em \,18 e \,30:
30 = 18\cdot1 + 12,
18 = 12\cdot1 + 6,
12 = 6\cdot2 + 0.
Quando o resto chega a 0, o último resto não-nulo é o MDC, aqui 6. Então \gcd(18,30)=6.
Agora \gcd(6,54):
54 = 6\cdot9 + 0,
logo \gcd(6,54)=6. Confirma que o resultado anterior está correto.

Resposta

6

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