Calcule os máximos e mínimos absolutos das funções na região
.
.
Passo 1
O enunciado pede os extremos absolutos de
no retângulo fechado
Vamos usar o método de extremos em conjunto fechado: achar pontos críticos no interior e avaliar também em cada aresta.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
:
Passo 3
Igualamos a zero para achar pontos críticos:
Dessas,
e
dão
(com
) ou
(com
). O ponto
está fora de
(pois
), e
fica na fronteira de
. Logo, não há pontos críticos no interior.
Passo 4
Análise da aresta
,
:
É uma função côncava para baixo em
. Máximo em
:
. Mínimo em
:
.
Passo 5
Análise da aresta
,
:
É parábola voltada para baixo com vértice em
(fora do intervalo), então extremos nos extremos de
.
Em :
.
Em :
.
Em
Em
Passo 6
Análise da aresta
,
:
Função decrescente em
. Máximo em
:
. Mínimo em
:
.
Passo 7
Análise da aresta
,
:
Derivada negativa
, decrescente em
. Máximo em
:
. Mínimo em
:
Passo 8
Candidatos a extremos absolutos:
O maior valor é
em
e o menor é
em
.
Resposta
Máximo absoluto:
em
.
Mínimo absoluto: em
.
Mínimo absoluto: