Calcule os máximos e mínimos absolutos das funções na região D.
f(x, y)=48 x y-32 x^{3}-24 y^{2}, D=\{(x, y): 0 \leq x \leq 5,-3 \leq y \leq 0\}.

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de
f(x,y)=48xy-32x^{3}-24y^{2}
no retângulo fechado
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le5,\,-3\le y\le0\}.
Vamos usar o método de extremos em conjunto fechado: achar pontos críticos no interior e avaliar também em cada aresta.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=48y-96x^{2},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=48x-48y.

Passo 3

Igualamos a zero para achar pontos críticos:
48y-96x^{2}=0\implies y=2x^{2},\qquad 48x-48y=0\implies y=x.
Dessas, y=x e y=2x^{2} dão x=0 (com y=0) ou x=\tfrac12 (com y=\tfrac12). O ponto \bigl(\tfrac12,\tfrac12\bigr) está fora de D (pois y>0), e (0,0) fica na fronteira de D. Logo, não há pontos críticos no interior.

Passo 4

Análise da aresta x=0, y\in[-3,0]:
f(0,y)=-24y^{2}.
É uma função côncava para baixo em y. Máximo em y=0: f(0,0)=0. Mínimo em y=-3: f(0,-3)=-24\cdot9=-216.

Passo 5

Análise da aresta x=5, y\in[-3,0]:
f(5,y)=-24y^{2}+240y-4000.
É parábola voltada para baixo com vértice em y=5 (fora do intervalo), então extremos nos extremos de y.
Em y=0: f(5,0)=-4000.
Em y=-3: f(5,-3)=-24\cdot9+240\cdot(-3)-4000=-216-720-4000=-4936.

Passo 6

Análise da aresta y=0, x\in[0,5]:
f(x,0)=-32x^{3}.
Função decrescente em x. Máximo em x=0: f(0,0)=0. Mínimo em x=5: f(5,0)=-32\cdot125=-4000.

Passo 7

Análise da aresta y=-3, x\in[0,5]:
f(x,-3)=-32x^{3}-144x-216.
Derivada negativa -96x^{2}-144<0, decrescente em x. Máximo em x=0: f(0,-3)=-216. Mínimo em x=5:
f(5,-3)=-32\cdot125-144\cdot5-216=-4000-720-216=-4936.

Passo 8

Candidatos a extremos absolutos:
(0,0)\mapsto0,\quad (0,-3)\mapsto-216,\quad (5,0)\mapsto-4000,\quad (5,-3)\mapsto-4936.
O maior valor é 0 em (0,0) e o menor é -4936 em (5,-3).

Resposta

Máximo absoluto: f_{\max}=0 em (0,0).
Mínimo absoluto: f_{\min}=-4936 em (5,-3).

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