O período T de um pêndulo simples com pequenas oscilações é calculado por meio da fórmula
T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}
onde L é o comprimento do pêndulo e g é a aceleração devido à gravidade. Suponha que os valores de L e g tenham erros de, no máximo, 0.5 \% e 0.1 \%, respectivamente. Use diferenciais para estimar o erro percentual máximo no valor calculado de T.

Passo 1

O enunciado nos dá a fórmula do período de um pêndulo simples com pequenas oscilações:
T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}},
onde L e g têm erros relativos de, no máximo, 0,5\% e 0,1\%, respectivamente. Queremos estimar o erro percentual máximo em T usando diferenciais, visto que para pequenas variações o erro relativo em T pode ser aproximado por \frac{dT}{T}.

Passo 2

Para relacionar o erro relativo em T com os de L e g, fazemos logaritmo em ambos os lados:
\ln T = \ln(2\pi) + \tfrac12\,\ln L \;-\;\tfrac12\,\ln g.
Diferenciando, obtemos
\frac{dT}{T} = \frac12\,\frac{dL}{L} \;-\;\frac12\,\frac{dg}{g}.

Passo 3

Como queremos o erro percentual máximo, usamos os valores extremos dos erros relativos:
\frac{dL}{L} = 0,5\% = 0{,}005, \quad \frac{dg}{g} = 0,1\% = 0{,}001.
Substituindo em \tfrac{dT}{T} e somando módulos (para obter o pior caso),
\biggl|\frac{dT}{T}\biggr| \approx \frac12\cdot0{,}005 \;+\;\frac12\cdot0{,}001 = 0{,}0025 + 0{,}0005 = 0{,}003.

Resposta

O erro percentual máximo estimado em T é de aproximadamente 0,3\%.

Exercícios relacionados