Utilize multiplicadores de Lagrange para determinar os pontos do cilindro hiperbólico
que estão mais próximos do ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos do cilindro hiperbólico definido por
que estejam mais próximos da origem
.
O que vamos otimizar é o quadrado da distância até a origem,
O que vamos otimizar é o quadrado da distância até a origem,
sujeito à restrição
. Para isso, usamos multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Calculamos os gradientes de
e de
:
As condições de Lagrange são
juntamente com a restrição
.
Passo 3
Escrevendo as componentes da condição
e a restrição, temos
Passo 4
Da segunda equação
segue
Da primeira equação
obtemos ou
ou
.
Da terceira equação obtemos ou
ou
.
Da terceira equação
Passo 5
Se
, a restrição
daria
, impossível. Logo
e deve valer
.
Com , a terceira equação fica
, logo
Com
Passo 6
Substituindo
na restrição
obtemos
E já tinhamos
.
Resposta
Os pontos do cilindro
mais próximos de
são