Utilize multiplicadores de Lagrange para determinar os pontos do cilindro hiperbólico x^{2}-z^{2}- 1=0 que estão mais próximos do ponto O=(0,0,0).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos do cilindro hiperbólico definido por
g(x,y,z)=x^{2}-z^{2}-1=0
que estejam mais próximos da origem O=(0,0,0).
O que vamos otimizar é o quadrado da distância até a origem,
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2},
sujeito à restrição g(x,y,z)=0. Para isso, usamos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Calculamos os gradientes de f e de g:
\nabla f=(2x,\,2y,\,2z),
\nabla g=(2x,\,0,\,-2z).
As condições de Lagrange são
\nabla f=\lambda\,\nabla g
juntamente com a restrição g(x,y,z)=0.

Passo 3

Escrevendo as componentes da condição \nabla f=\lambda\,\nabla g e a restrição, temos
2x=\lambda\,2x,
2y=0,
2z=\lambda\,(-2z),
x^{2}-z^{2}=1.

Passo 4

Da segunda equação 2y=0 segue y=0. Da primeira equação 2x=2\lambda x obtemos ou x=0 ou \lambda=1.
Da terceira equação 2z=-2\lambda z obtemos ou z=0 ou \lambda=-1.

Passo 5

Se x=0, a restrição x^{2}-z^{2}=1 daria -z^{2}=1, impossível. Logo x\neq0 e deve valer \lambda=1.
Com \lambda=1, a terceira equação fica 2z=-2z, logo z=0.

Passo 6

Substituindo z=0 na restrição x^{2}-z^{2}=1 obtemos
x^{2}=1\quad\Longrightarrow\quad x=\pm1.
E já tinhamos y=0.

Resposta

Os pontos do cilindro x^{2}-z^{2}-1=0 mais próximos de O são
(1,0,0)\quad\text{e}\quad(-1,0,0).

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