O volume V de um cone circular reto de raio r e altura h é dado por V=\frac{\pi r^{2} h}{3}. Suponha que a altura decresça de 20 cm para 19.95 cm , enquanto que o raio cresce de 4 cm para 4.05 cm . Use diferenciais para aproximar a variação no volume do cone.

Passo 1

O enunciado dá o volume de um cone circular reto como
V = \frac{\pi r^{2}h}{3}
e pede para aproximar a variação \Delta V quando r cresce de 4 cm para 4{,}05 cm e h decresce de 20 cm para 19{,}95 cm, usando diferenciais. Vamos usar
dV = \frac{\partial V}{\partial r}\,dr + \frac{\partial V}{\partial h}\,dh.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de V:
\frac{\partial V}{\partial r} = \frac{\pi\cdot 2r\cdot h}{3} = \frac{2\pi r h}{3}, \qquad \frac{\partial V}{\partial h} = \frac{\pi r^{2}}{3}.

Passo 3

Definimos os incrementos
dr = 4{,}05 - 4 = 0{,}05,\qquad dh = 19{,}95 - 20 = -0{,}05.
Então
dV = \frac{2\pi r h}{3}\,dr + \frac{\pi r^{2}}{3}\,dh.
Substituindo r=4, h=20, dr=0{,}05 e dh=-0{,}05:

Passo 4

\frac{2\pi r h}{3}\,dr = \frac{2\pi\cdot 4\cdot 20}{3}\cdot 0{,}05 = \frac{160\pi}{3}\cdot 0{,}05 = \frac{8\pi}{3},
\frac{\pi r^{2}}{3}\,dh = \frac{\pi\cdot 4^{2}}{3}\cdot(-0{,}05) = \frac{16\pi}{3}\cdot(-0{,}05) = -\frac{0{,}8\pi}{3}.
Somando,
dV = \frac{8\pi}{3} - \frac{0{,}8\pi}{3} = \frac{7{,}2\pi}{3} = 2{,}4\pi\approx 7{,}54\;\text{cm}^3.

Resposta

A variação aproximada do volume é
\Delta V \approx dV = 2{,}4\pi\approx 7{,}54\;\text{cm}^3.

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