Calcule os máximos e mínimos absolutos das funções na região D.
f(x, y)=3 x^{2}+y^{2}, D=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}.

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos da função
f(x,y)=3x^{2}+y^{2}
no conjunto
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le4\}.
Como D é compacto e f é contínua, pelo Teorema do Valor Extremo, f atinge mínimos e máximos absolutos em pontos críticos no interior de D ou na fronteira x^{2}+y^{2}=4.

Passo 2

Procuramos os pontos críticos no interior resolvendo \nabla f=0:
\nabla f = \bigl(\partial_x f,\partial_y f\bigr) = (6x,2y) = (0,0)
isso dá
x=0,\quad y=0.
No ponto (0,0), temos
f(0,0)=0.
Esse é candidato a mínimo absoluto.

Passo 3

Na fronteira x^{2}+y^{2}=4, usamos a parametrização
x=2\cos\theta,\quad y=2\sin\theta,\quad \theta\in[0,2\pi].
Então
f(2\cos\theta,2\sin\theta) =3\,(2\cos\theta)^{2}+(2\sin\theta)^{2} =12\cos^{2}\theta+4\sin^{2}\theta =4\bigl(3\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\bigr).
Como 3\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=2\cos^{2}\theta+1, segue
f=4\,(2\cos^{2}\theta+1).
O mínimo ocorre quando \cos^{2}\theta=0, ou seja \theta=\tfrac\pi2,\tfrac{3\pi}2, isto é (x,y)=(0,\pm2), com
f(0,\pm2)=4.
O máximo ocorre quando \cos^{2}\theta=1, ou seja \theta=0,\pi, isto é (x,y)=(\pm2,0), com
f(\pm2,0)=12.

Passo 4

Comparamos os valores obtidos:
  • No interior, f(0,0)=0.
  • Na fronteira, f(0,\pm2)=4 e f(\pm2,0)=12.
Logo o menor valor é 0 em (0,0) e o maior é 12 em (2,0) e em (-2,0).

Resposta

Mínimo absoluto: f_{\min}=0 em (0,0).
Máximo absoluto: f_{\max}=12 em (2,0) e (-2,0).

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