Utilize multiplicadores de Lagrange para minimizar a função f(x, y, z)=x y+y z, sujeita às restrições x^{2}+y^{2}-2=0 e x^{2}+z^{2}-2=0. Sugestão: utilize um software para resolver o sistema de equações não lineares.

Passo 1

O problema pede para minimizar a função
f(x,y,z)=xy+yz
sujeita às duas restrições
g_1(x,y,z)=x^2+y^2-2=0, \qquad g_2(x,y,z)=x^2+z^2-2=0.
O método de multiplicadores de Lagrange diz que nos pontos críticos existe \lambda,\mu tais que
\nabla f = \lambda\,\nabla g_1 + \mu\,\nabla g_2.

Passo 2

Calculemos os gradientes:
\nabla f = \bigl(\partial_xf,\partial_yf,\partial_zf\bigr) =(y,\;x+z,\;y),
\nabla g_1=(2x,2y,0), \qquad \nabla g_2=(2x,0,2z).
Igualando
(y,\;x+z,\;y) =\lambda\,(2x,2y,0)+\mu\,(2x,0,2z),
obtemos o sistema
\begin{cases} y = 2x(\lambda+\mu),\\\ x+z = 2y\,\lambda,\\\ y = 2z\,\mu, \end{cases}
juntamente com as restrições
x^2+y^2=2, \qquad x^2+z^2=2.

Passo 3

Das duas restrições segue y^2=z^2, portanto temos dois casos:
(i) z=y e (ii) z=-y.
Em cada caso substituímos em
y = 2z\,\mu \quad\Longrightarrow\quad \mu=\frac{y}{2z},
x+z = 2y\,\lambda \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac{x+z}{2y},
e em seguida usamos
y=2x(\lambda+\mu)
para achar a relação x/y.

Passo 4

Caso z=y:
– De \mu=\tfrac{y}{2y}=\tfrac12 e \lambda=\tfrac{x+y}{2y}.
– A equação y=2x(\lambda+\mu) vira
y=2x\Bigl(\tfrac{x+y}{2y}+\tfrac12\Bigr) \;\Longrightarrow\; x^2+2xy-y^2=0 \;\Longrightarrow\; \frac{x}{y}=-1\pm\sqrt2.
Com x^2+y^2=2 segue
y^2=\frac{2+ \sqrt2}{2}.
Para \tfrac{x}{y}=-1+\sqrt2 obtemos f=\sqrt2+1 (máximo) e para \tfrac{x}{y}=-1-\sqrt2 obtemos
f=-(\sqrt2+1).
Caso z=-y:
– De \mu=\tfrac{y}{-2y}=-\tfrac12 e \lambda=\tfrac{x-y}{2y}.
– A equação y=2x(\lambda+\mu) leva a
x^2-2xy-y^2=0 \;\Longrightarrow\; \frac{x}{y}=1\pm\sqrt2,
com
y^2=\frac{2- \sqrt2}{2}.
Os valores de f são \sqrt2-1 e -(\sqrt2-1), que são menos extremos que \pm(\sqrt2+1).

Passo 5

Entre todos os pontos críticos o menor valor de f é
f_{\min} = -\bigl(\sqrt2+1\bigr),
obtido no caso z=y com \tfrac{x}{y}=-1-\sqrt2 e
y^2=\frac{2+\sqrt2}{2}, \quad z=y.

Resposta

O valor mínimo é
\min f = -(\sqrt2+1),
atingido nos dois pontos
(x,y,z)=\bigl(-\,(1+\sqrt2)\,\alpha,\;\alpha,\;\alpha\bigr) \quad\text{e}\quad (x,y,z)=\bigl((1+\sqrt2)\,\alpha,\;-\alpha,\;-\alpha\bigr),
onde \displaystyle \alpha=\sqrt{\tfrac{2+\sqrt2}{2}}.

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