Utilize multiplicadores de Lagrange para minimizar a função
, sujeita às restrições
e
. Sugestão: utilize um software para resolver o sistema de equações não lineares.
Passo 1
O problema pede para minimizar a função
sujeita às duas restrições
O método de multiplicadores de Lagrange diz que nos pontos críticos existe
tais que
Passo 2
Calculemos os gradientes:
Igualando
obtemos o sistema
juntamente com as restrições
Passo 3
Das duas restrições segue
, portanto temos dois casos:
(i) e (ii)
.
Em cada caso substituímos em
(i)
Em cada caso substituímos em
e em seguida usamos
para achar a relação
.
Passo 4
Caso
:
– De e
.
– A equação vira
– De
– A equação
Com
segue
Para
obtemos
(máximo) e para
obtemos
Caso
:
– De e
.
– A equação leva a
– De
– A equação
com
Os valores de
são
e
, que são menos extremos que
.
Passo 5
Entre todos os pontos críticos o menor valor de
é
obtido no caso
com
e
Resposta
O valor mínimo é
atingido nos dois pontos
onde
.